Állami gimnázium, Eger, 1925

16

159. Egy háromszög oldalai a, b, c. 1) Határozzuk meg a háromszögbe Irt kör sugarát (p), továbbá ama bárom kör sugarát (Pj, p2, P3), melyek a háromszög egyik oldalát és a másik két oldalának meghosszabbításait érintik. Ha a háromszög bárom magassága mh m2, m3, akkor bizonyítsuk be, hogy

P2

2)

mi

—= -—f- —1—— í 3) I^-Jl + 1 + 1.,

p mi m2 m3 Pi m! m2 m3

!_ + ! 1=±+1_1. 4) 1=1 + 1+’!.

m2 ^ m3 ’ P3 mi m2 m3 ’ P Pi P2 P3 ’

5) ‘'t ' y l>3 -- s2 (hol s a háromszög félkeriilete); 6) PPtP2P3 = t2.

160. Mutassuk meg, bogy | II Trigonometria.

sin (900 + a) = cos a, tg (90" + a) = — cotg a. sec (90°+ a) = — cos ec a; cos (9CP + a)=—sin a, cotg (90" + a) = — tg a, cosec (90° + a) = sec a.

161. H hat szögfüggvény bármelyikéből számítsuk ki a többit.

162. Melyik szögre nézve egyenlő 7=tel a hat szögfüggvény négyzetének összege ?

163. Ismeretes sin a és cos a, mekkora sin3 a, cos3 a, sin4 a, cos4a?

164. Ismeretes tg a és cotg a, mekkora tg 3 a, cotg 3 a, tg 4 a, cotg 4a?

165. Szorzattá, illetőleg logaritmusszámításra alkalmas törtté alakítandók :

1)1+ sin a, 2) 1 — sin a, 3) sin a + cos a, 4) sin a — cos a, 5) 1 + tg a.

6) 1 — tg a, 7) tg a + cotg a, 8) cotg a — tg a, 9) sin a + cos a + 1.

166. Bizonyítsuk be, bogy ba a + ß + 7 = 180°, akkor

1) sin 2 a + sin 2 ß + sin 2 7 = 4 sin a sin ß sin 7.

2) sin 2 a + sin 2 ß — sin 2 y = 4 cos a cos ß sin y.

a ß y

3) sin a + sin ß + sin y == 4 cos y cos cos -y.

4)

sin a + sin ß — sin 7 = 4 sin

a . ysm

P

yCOS

7

2 *

5)

tg a + tg ß + tg 7 = tg a tg ß

tg7.

6)

ß ß y

cotg y + cotg y + cotg y =

a

’°otgy

. cotg

ß

2 ’

cotg y .

7)

cotg a cotg ß + cotg ß cotg 7

+ cotg

7 cotg

a =

= 1.

8)

a ß ß 7

tg y tg y + tg y tg y + tg

7 a.

y tgy

= 1.

167. Oldjuk meg a következő goniometriai egyenleteket:

1) sin x + sin 2 x = 0 ; 2) sin x + cos 2 x == 0; 3) cos x + sin 2x = 0;

4) cosx + cos2 x = 0; 5) sinx+cosx=0; 6) sinx — cosx = 0;

7) tg x — cotg x = 0; 8) cotg x — tg x = 2.

168. Ha a = 36°, akkor sin 3® = sin 2a. Ezen egyenlet megoldása utján számítsuk ki a 36°*nak és pótszögének, az 54°=nak s ezekből még 18°-u és 72°*u szögek függvényeit.

169. Hz előbbi feladat eredményeinek felhasználásával számítsuk ki az egységsugarú körbe írt szabályos öt* és tízszög oldalát.