Állami gimnázium, Eger, 1907

szögének tangensét jelenti, akkor mivel a hegyes szög tangense pozitív, a tompa szögé pedig negativ, világos, hogy a függvény valamely helyen nő, vagy fogy a szerint, a mint differenciálhányadosa az illető helyen pozitiv, vagy negativ. Szélső érték esetén az érintő párhuzamos lévén az x tengelylyel, a vele bezárt szög 0°, 0°-ú szögnek pedig a tangense is 0, tehát e helyeken a differenciálhányados nulla. Ha tehát valamely függvény szélső értékeit akarjuk meghatározni, akkor a függvény differenciálhányadosát nullával kell egyenlővé tennünk és az így nyert f (x) = o egyenletet megoldanunk. Ezen egyenlet megoldásai adják azon helyeket, hol a függvénynek szélső értéke lehet. Hátra van tehát még annak eldöntése, hogy a szélső érték maximum-e vagy maximum.

Fejtegetéseink értelmében az /(x) függvénynek az x — a helyen akkor van maximuma, ha e helyen a függvényérték nagyobb, mint a környezetében levő bármely pontban, a mit úgy fejezhetünk ki, hogy ha h valamely igen kicsiny pozitiv számérték, akkor / (a + /z) — / (íj) < 0 és / (a — h) — / (a) is < 0, vagyis f (a — h)—/(a) < 0; hasonlókép ha az x a hely függvényünknek minimális helye, akkor, mivel e helyhez tartozó függvényérték a környezetben a legkisebb, f (a — h) ±f (a) > 0.

De Taylor sora értelmében :

f(a±h) = / (a) ± h f (a) + ^ f" (a) ± ...

mivel pedig szélső érték esetén /' (a) = O,

f(a±h -f(a) = ~ f (ö) /"' (fl) + • • •

de h végtelen kicsiny, tehát a jobb oldalon levő kifejezés előjele megegyezik az első tag előjelével, ez pedig pozitiv, ha f‘(a) pozitiv és negativ, ha /' (a) negativ. Ha tehát /'(a), vagyis az f (x) függvény differenciálhányadosa az a helyen zérus, akkor függvényünknek e helyen maxima van, ha /" (a) negativ és minimuma, ha /" (a) pozitiv.

Ha pedig az x = a helyen /" (a) is =0, de /'" (o) nem zérus, akkor:

f(a ± h) -fiá) = ± pr (a) = £/"" (a) + .,.;

mivel pedig a jobboldali kifejezés előjele az első tag előjelével egyezik meg, azért/(o -J- h)—f(a) és /(a—h)—f(á) külömböző

— 42 —