Állami gimnázium, Eger, 1907

mely értékeket a Maclanrin féle sorba helyettesítve:

x~

arc tg.x = x

x3 . x5 "3 1 5

mely sor összetartó, ha x = 1, vagy valódi tört. Ha x = 1, akkor arc tg. 1 = = 1 —

1

11

E sort feltalálója után Leibnitz féle sornak nevezik. De n kiszámítására e sor nem igen alkalmas, mert igen lassan összetartó. Sokkal gyorsabban összetartó sort kapunk a Machintől származó következő eljárással:

Induljunk ki azon szögből, melyre nézve:

1.. , _ 2 tg y. 5

«*=5! akkorte2’-r=s%-T2

és í^4x

2 tg 2* 120

1—tg*2% 119

71

tehát

át tg (4a

tg4 7.— tg — 1 +tg4v.tg^tg 4a— 1 1

120

119

— 1

tg 4*

120

119

239

Miből következik, hogy

4*-r

íirc.tg vagy j

4» - arc. tgm,

de mivel tg* — -^-, 1 1

1

1

, arc. tg _ — v 3 53 5^

es a,c■ tg' 239 239'

3.2393

_1

5.239fl

tehát 71 4 í1

1 1

) ( 1

1

. 1

4 4 \5

3.53 1 5.55

’ ’/ V239

3.2393

1 5.2398 ‘

vagy

* = 16(?

___L_l 1

3

.53^ 5.56

' •) 4 1239

1

, 1

3.2393

1 5.239r*

mely sorból n értéke tetszés szerinti pontossággal meghatározható. Hogy e sor mennyire konvergens, mutatja az a körülmény, hogy ha n értékét 5 tizedesnyi pontossággal akarjuk meghatározni, elégséges az első sornak 4, s a másodiknak 1 tagját tekintetbe venni.

71 = 3.1415926 . . .