Állami gimnázium, Eger, 1907

— 36 —

XIV. Az exponenciális függvény sorbafejtése, kapcsolatban az e értékének kiszámításával.

Legyen /(x) = e*, akkor f(o) = 1 és

f (x) = ex ; /' (o) = <?x ; /"' (x) = e . . . és/' (o) = 1 ; f" (o) = 1 ; f" (o) = 1 ... mely értékeknek a Maclaurin-féle sorba való helyettesítésével:

3 -y 4 y 5

_4-._-L._4_

2! 1 3P 4! 5M ' ■ '

ha most x= 1, akkor:

e = 1 + 1 + Ti + íT + i+Ti + ^i + • ’ ■ ’

Y ú y o y <

ex = l+x + ^+~ + X

mely összetartó sorból e, vagyis a természetes logaritmus-rendszer alapszáma tetszőleges pontossággal meghatározható.

e =2.718281828459 . . .

XV. A logaritmusfüggvény sorbafejtése kapcsolatban a természetes és közönséges logaritmusok kiszámításával.

Ha /' (x) = / x, akkor /" (o) = — oc, továbbá /(x)= /'(x) = -^; . ..

és /(o)= go ; f"(o) = — go ; miből világos, hogy e sor nem használható.

Ha ellenben /(x) = /(/-)- x), akkor f(o) = 0 és

—; r (x) = - 7r-f^2; /'"W=/ a;

f (x)

; + x;

(/+x)3

(7+x)2

1. 2. 3.

(7 + x)*: • • • és /» (o) = / ; /'(o) = - / ; /'» = 21; /'"(o) = - 3 ! mely értékeket a Maclanrin féle sorba helyettesítve, lesz:

/"" (x) =

/(1 + x)

X3 . Xs X -2+1X4 .X5 X6 ,

"4 ' ~5 6 + ' • '

E sor azonban gyakorlati számításokra nem alkalmas, mert ha, — mint az a logaritmustáblák szerkesztésére szükséges, — az egész számok logaritmusait akarjuk kiszámítani, akkor e sorban x helyébe egész számokat kell tennünk, már pedig ez esetben a sor divergens. Mégis e sor képezi a logeritmusok kiszámításának