Állami gimnázium, Eger, 1907

- 31 egyenletet kapjuk. Ha ebben a kijelölt hatványozásokat elvégezzük és a kifejezést h növekedő hatványai szerint rendezzük, akkor

/ (x -j- h) --= a0 x" + Ű! xn-7 + . . . + a„ -f

+ h

o0nxn-,-f (n—1) ax xn~2 -j- . . . -j- an,.i-f

1.2

a0 n (n—1) xn~2 -)- öj (n—1) (n—2) x" 3 . . . + 2

+ . . .

A" n!

ű0 n («—1) (n—2) ... 3. 2. 1

E kifejezés sokkal egyszerűbb alakot ölt, ha tekintetbe vesszük, hogy az első sor nem egyéb, mint az adott /(x) függvény, a másodikban a zárójelben levő kifejezés eme / (x) függvény elsőrendű differenciálhányadosa, tehát f (x); a harmadikban a zárójelben levő kifejezés az / (x) másodrendű differenciálhányadosa, tehát f" (x) és így tovább, (1. XI. fejezet.) Lesz tehát:

/(x + h) =/(x) + hf(x) + g/" (x) + ͣ/"(X) + ... + fin> (X)

Ha ezen egyenletbe az x = a értéket helyettesítjük, akkor f(a + h) =f(á)+hf' (a) + % f" (a) + g /'" (ű) /<”>(«)

és ha ezen egyenletben // x — a értéket helyettesítjük, akkor

/(x)=/(ű) + ^(x■a) + f^(x-aY+... + ^ (x-ay

n!

Ezen kifejezésben az f(x) függvény és annak differenciálhányadosai szerepelnek az a helyen. Ha ezen a helyet mintegy kiindulópontul tekintjük, akkor x a független változó megnövesztett értéke és x — a a növekménye. E felfogás értelmében azt szoktuk mondani, hogy a fenti sor az /(x) sorba fejtett alakja az x— a helyen. E sor a Taylor féle sor, mely a differenciálszámításnak fontos alaptétele. Kellő általánosításokat téve ugyanis kimutatták, hogy e sorkifejtés nemcsak az egész függvényekre, hanem bármely /(x) függvényre is alkalmazható, ha az x= a helyen az /(x) első és magasabb rendű differenciálhányadosait képezni tudjuk. Mig azonban egész függvényeknél a sor véges számú tagokból áll, addig más függvények kifejtésénél végtelen sok tagból álló sort kapunk. A nélkül, hogy e helyen a sorba fejtésre vonatkozó részletes vizsgálatokba bocsátkoznánk, csak annak igazolására szőrit-