Az Egri Pedagógiai Főiskola Évkönyve. 1960. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; Tom. 6)
III. Tanulmányok a nyelv-, az irodalom- és a történettudományok köréből - Pelle Béla: A reciprocitás alkalmazása az Apollonius-féle feladat megoldásánál
köröket szerkeszteni. Vegyük fel az elemeket úgy, hogy P ne illeszkedjen egyikre sem és k-nak külső pontja legyen, továbbá az egyenesnek azon oldalán legyen, amelyen k. Válasszuk főponttul a P pontot. A P-t és e-t érintő körök középpontjai parabolán vannak, P, és k-t érintő körök középpontjai pedig hiperbolán. A megoldást a közös fókuszszai Diro paraDoia es mperboia közös pontja adja. Ha főponttul a k kör középpontját választjuk, akkor a k-t és e-t érintő körök középpontjai két közös fókuszú parabolán vannak, k és P-t érintőké pedig hiperbolán. A megoldások ebben az esetben közös fókuszú parabolák és hiperbola közös pontjai. Az elemek helyzetétől függően egyenes-hiperbola, parabola-egyenes-hiperbola, parabola-ellipszis metszéseit kell megszerkeszteni. Ha két kör végtelen sugarú, akkor adott e^ és e-2 egyeneseket és k kört érintő köröket kell szerkeszteni. A szerkesztést elvégezhetjük úgy, hogy a két egyeneshez tartozó szögfelező, továbbá a kör és az egyik egyeneshez tartozó parabolák metszéspontjait szerkesztjük meg. Elvégezhetjük úgy is, hogy főponttul a kör középpontját választjuk és ke körhöz tartozó parabolák metszéspontjait szerkesztjük meg. Az eddigi módszerekkel ezek szintén elvégezhetők. Két végtelen sugarú és egy nulla sugarú kör esetében a feladat a következőkép fogalmazható meg: ei és e.> egyeneshez és P ponthoz érintő köröket szerkesszünk! Főponttul a P-t választva egyenes és parabola metszése szolgáltatja a megoldást, vagy pedig két parabola metszése. Ha a körök között kettő nulla sugarú, egy pedig végtelen sugarú, akkor két ponthoz és egy egyeneshez kell érintő köröket szerkeszteni. A pontok közül egyiket főpontnak tekintjük és a megoldást egyenes és parabola metszése adja. Két nullasugarú kör esetében két ponthoz és egy k körhöz kell érintőköröket szerkeszteni. A megoldások a két ponthoz tartozó hiperbolikus körsor azon körei lesznek, amelyek érintik k-t. Ebből következik, hogy a körvonal nem választhatja szét a két pontot. Ha főponttul az egyik pontot választjuk, akkor egyenes és hiperbola, vagy egyenes és ellipszis metszéspontját kell megszerkeszteni. Ha főpontként a kör középpontját választjuk, akkor két hiperbola, két ellipszis, vagy egyeneshiperbola és egyenes-ellipszis közös pontjaként is felfogható a megoldás. Három pont és három egyenes esetében a megoldás egyszerűen adódik, semmilyen helyzetben nincs szükség az ismertetett módszer alkalmazására. JEGYZETEK: [1] Lásd Stiefel: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie c. könyvének 83. oldalán. [2] Az előző könyv 84. oldalán. [3] Stiefel ugyanazon könyvének 88. oldalán. IRODALOM: E. Stiefel: Lehrbuch der Darstellenden Geometrie. Basel 1947. Cranz: Apollonisches Berührungsproblem, Bremerhaven, (1890). Gyelone —Zatomirszkij : Geometriai feladatgyűjtemény. Szocialista nevelés könyvtára, 1956. 443
