Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1978. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 14)

Az eredményből az is következik, hogy azok a számok a tízes számrendszerben, melyek harmadik hatványai ugyanarra a kétjegyű számra végződnek, mint az eredeti szám, azok, melyek 00, 01, 24, 25, 49, 51, 75, 76 vagy 99 végződésűek. A kapott eredmény megegyezik N. I. Nedita [10]-beli eredményével. Következmények I. A 2. Tételből következik, hogy (4) kongruenciának annyi különböző megoldása van (mod B), ahányféleképpen meg tudjuk választani a GI,G

2, . . . G

R < értékeket, vagyis: Az x

k-x = 0 (mod B) kongruencia megoldásainak száma M = D*(d

2+\y(d

3+l)...(d

t+l), ahol D = 1 ha oij — OésZ) — űí*ű?i+lhao;i ^ 0. A többi paraméter jelentése ugyanaz, mint a 2. Tételben. II. A 2. Tételből következik, hogy (4) megoldásai, k értékeit változtatva, csak d és önértékektől függenek. De ha (k

y — 1, ${B)) = (k

2 — 1, y(B)), akkor a megfelelőd és ^értékek egyenlőek, így igaz a következő tétel: 3. Tétel: Ha (k

x-\, ^(Bj) = (k

2-l, <p(B)), akkor x^i -x = 0 (mod B) xk 2-x ~ 0 (mod B) kongruenciák ekvivalensek. Speciális esetként adódik, hogy x

2-x = 0(mod B) megoldásai szolgáltatják az x

k~x = 0(mod B) összes megoldását, ha k-1 és relatív prímek. III. 5=10 esetén g

2 = 2 minden «-re. Ezeket a 2. Tételbe helyettesítve és felhasználva az 1. Tételből következő 2^

(

5"

}-l =-5*

(2n

)(mod 10«) összefüggést, C. P. Popovici [12]ben bizonyított tételét kapjuk speciális esetként. IV. E. Hewitt [7] bizonyította, hogy akkor és csak akkor létezik olyan k természetes szám, melyre xk-x = 0 (mod B) azonosan teljesül, ha B négyzetmentes. Ez a 2. Tételből is következik. A kongruencia azonosan csak akkor teljesül, ha a megoldásainak M számára M =B. De az előzőek alapján M = D - (d

2 + \). . . (d

r+1) < TT 0p(p?0+l) < í' PV = B M i-l és az egyenlőség akkor és csak akkor áll fenn mindenhol, ha a; = 1 és (pj— 1) | (k- 1) minden i = 1, 2,. . . , r esetén, ezért valóban igaz E. Hewitt tétele. Bizonyításunkból az is következik, hogy k akkor és csak akkor elégíti ki a feltételeket, ha többszöröse a(p,—1) egész számok legkisebb közös többszörösének. A pszeudoprím számokról Az n természetes számot pszeudoprím számnak nevezzük az a egész szám vonatkozásában, ha n összetett és a" =a (mod n), (13) 462