Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1975. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 13)

háromszögeket vizsgálva akkor a háromszögek hasonlósága mutat ekvivalenciarelációt. Tegyük fel, hogy adva van ennek a tartománynak egy tetszőleges eleme: a, derékszögű háromszög, a € H. így bevezethető a háromszögek C

a osztálya, amelyhez azok és csak azok az x elemek tartoznak, amelyekre az aox érvényes. (Vagyis az a háromszöghöz hasonló háromszögek osztályáról van szó), azaz C

a = {x | x £ H és aox}. Minthogy minden a-ra a^a teljesül, azaz a £ C

a, ezért a C

a nem üres. Ez a H halmaz egy osztályozását adja. Tegyük fel, hogy a C

a osztályba (a hasonló háromszögek osztálya) tartozik egy b háromszög is, b 6 C

a, akkor a szimmetrikusság miatt aob és b£>a. Ez azt jelenti, hogy ha b € C

a, akkor C^. A Q reláció alapján C

a = Cb bármely olyan a és b dolog esetén, amely a Q reláció által meghatározott tartományba tartozik. Elegendő azt belátni, hogy ha két C

a és C^, részhalmaznak van közös eleme, azaz van olyan c elem (háromszög), amelyre c 6 C

a (derékszögű) és c (: Q} teljesül, akkor C

a = Q, bármely olyan a és b háromszög esetén, amely a Q reláció által meghatározott tartományba tartozik. Feltevésünk szerint a@c és boc, amiből a Q reláció szimmetrikus és tranzitív volta miatt aob következik. Ha x bármelyik eleme C

a-nak, akkor definíció szerint a^x; de akkor a^b miatt b^x, azaz x 6 C^,, amiből C

a = C^. Ugyanígy látható be, hogy C

b = C

a. Ezért C

a =0,. Vagyis a H halmazban definiált ekvivalenciareláció meghatározza H-nak egy osztályozását. Összefoglalva ezeket az eredményeket, kiderül, hogy az a, b, c dolgok tartományára érvényes reláció, amely megfelel az ekvivalenciarelációnak, mindezeknek az elemeknek kimerítő osztályozását adja. Oly módon, hogy 1. Valamely osztályt (C.

a) egy eleme (a) egyértelműen meghatároz, úgy, hogy azt reprezentánsnak tekinthetjük. A mi esetünkben a hasonlósági reláció egyetlen háromszög (a) megadásával meghatározza a hasonló háromszögek egész osztályát. 2. Ha apb, akkor C

a = Q-, és megfordítva. 3. Két ilyen C

a és C^ részhalmaz vagy azonos egymással, vagy nincs közös elemük. Összefoglalva: Egy H halmaz osztályozása meghatároz egy a H-ban definiált ekvivalenciarelációt, s megfordítva, a H halmazba definiált ekvivalenciareláció meghatározza a H halmaznak egy osztályozását, mégpedig úgy, hogy egy osztályba az egymással ekvivalens elemek tartoznak. Ebben az esetben arról beszélünk, hogy a C

a, C

b, C

c részhalmazokat az a, b, c elemek halmazából absztrakció általi meghatározás segítségével vezettük le. Ezzel kimutattuk, hogy az ekvivalenciareláció olyan jellegű reláció, amely az absztrakció általi meghatározás alapját alkotja [20]. Mint láttuk, „az absztrakció útján történő meghatározásnál" elvonatkoztattunk a halmaz elemeinek tulajdonságától és csak az ekvivalenciarelációt tartva szem előtt osztályoztuk a halmazt, vezettük le a részhalmazokat. 56