Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1973. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 11)

III. Tanulmányok a Természettudományok köréböl - Kiss Péter és Szepessy Bálint: Magasabbfokú egyenletek tárgyalásának egy módja a számítástechnika elemeinek felhasználásával

Célszerű az első, illetve a második ábrát úgy készíteni, hogy bármely, legfeljebb első- illetve másodfokú egyenletre alkalmazható legyen. így a második ábra az elsőt tartalmazza. A valós együtthatós harmadfokú egyenletek folyamatábráját az elmélettel párhuzamosan tárgyalhatjuk. Ha az ax

3 -f- bx

2 -f- cx -f- d = 0 egyenlet harmadfokú tagjának az együtthatója nulla (a = 0), akkor legfeljebb másodfokú az egyenlet, s ennek megoldási algoritmusa és folyamatábrája már az előzőekben szerepelt. Ha a =t= 0, akkor x = v ismert helyettesítéssel a másodfokú 3 a tagot kiküszöböljük az egyenletből, s az egyszerűbb y

3 -f- py -f- q = 0 P 1 egyenlethez jutunk. A p és q, illetve ^ = F és — = E értékek meghatározása után ezeket a folyamatábrán feltüntetjük. Ha E

2 -f- F

3 = G nem negatív, akkor a Cardano-féle képletet, az y

4 = u + v, y

2 = — -(u + v) + i — (u— v), y

3 = — -- (u+v)-i y (u — v) b képleteket, valamint az x = y helyettesitest figyelembe veve az 3 a egyenlet gyökeit meghatározhatjuk. Ezt az utat a folyamatábrán is végigjárjuk. (3. ábra.) (Megemlítjük, hogy zérus vagy negatív alapnak valós kitevőjű hatványozása a

x = e

xln

a azonosság szerint — s a legtöbb számítógép ezen azonosság szerint számol — nincs értelmezve. így a } ül értékét, 3 ha U1 negatív — V— Ui átalakítással számítjuk ki. A 3. ábrán — mivel később ennek alapján programot készítünk, ezt is feltüntetjük.) A valós és a képzetes gyökök számát a folyamatábra alapján kihangsúlyozzuk. Ha G < 0, akkor az úgynevezett casus irreducibilis áll elő. Ebben az esetben ki lehet számítani a gyököket kizárólag a valós számok körében maradva. Mivel E

2 -f- F

3 = G < 0, az ismert képlet szerint U1 = U

3 = = — E -f- i \ G írható. Ennek trigonometrikus alakja legyen r (cos (p + + i sin cp), és G = — G. Tehát — E + i )Q — r (cos cp -f- i sin cp) —U

3 = Ul. í —E\ ^ Itt r = | U

3 | — VE^+G és L = cp = arccos — arcoos <•» l Az U egy értékére a következőket kapjuk: U = M i | E

2+G sin L ahol M = 1/E2+G cos — . 3 1 IT Ismeretes, hogy v = u és ha yi = (u + v), y

2 = ——(u + v) + i—(u — v), = — -- (u + v) — i — (ü — v) kiszámítása közben bevezetjük az N = 2 2 . L b =1 3 ] E-+G sin — jelölést, valamint figyelembe vesszük az x=y , helyet3 3a 290-