Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1973. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 11)

III. Tanulmányok a Természettudományok köréböl - Járosi András: Számok n-edik gyökének fogalmáról

A dolgozatban rámutatok a régi gyökfogalomban rejlő, illetve a módosításból származó ellentmondásokra, majd megkísérlem a meglevő gyökfogalmakat egy általam definiált, általánosabb gyökfogalomnak alárendelve megközelíteni a probléma megoldását, az ellentmondásmentes gyökfogalom kialakítását. A gyökvonás és az n-edik gyök történetileg kialakult fogalma A gyökvonás a hatványozás inverz műveleteként alakult ki a matematikában. Az (1) x

n = a (n = 1, 2, 3 ...) egyenlet megoldását, több megoldás létezése esetén megoldásait tekintették az a szám n-edik gyökének, illetve gyökeinek az elmúlt évtizedig nemzetközileg is egységesen és általánosan. A legtöbb országban tudomásom szerint jelenleg is így értelmezik egy szám n-edik gyökét, s értesülésem szerint hazánk felsőfokú Oktatási intézményeiben is többnyire ez a helyzet. A definíciók megfogalmazása miatt idézek néhány értelmezést: „Valamely a szám n-edik gyöke alatt azt a b számot értjük, amelyre b

n = a"

2. „Valamely z — r (cos cp -j- i. sin cp) komplex szám n-edik gyökén olyan u> komplex számot értünk, amelyre w

n = z teljesül. Más szóval az x

n = z n egyenlet megoldásait nevezzük a z szám n-edik gyökeinek. Jele w — JAT^ Ez a jel, mint látni fogjuk, többértékű."

3 „Feladatunk, hogy az a = r (COS99 -f- i. shKp) alakú számból n-edik gyököt vonjunk. Tegyük fel, hogy ez lehetséges, és hogy a gyökvonás eredménye Q (cos # + i. sin #), azaz [o (cos 0 ~f- i si

n — r (

co

s <P + i sin 99)." Majd megállapítja, hogy „k bármely pozitív vagy negatív egész értéke mellett" 7 j——: r 'iV f rp-j-2kJZ . . . cp + 2 kn ) ... y r (cos 97 + 1 sm 9o) = \ r cos — 1. sin — (4) A komplex számokra megadott gyökfogalmat idéztük, mivel ez a számfogalom valamennyi korábbi számfogalom általánosítása, s a komplex szám n-edik gyökének fogalma a korábbi számfogalmakra kialakult gyökfogalom általánosításaként jött létre. A definíciók megfogalmazásában érezhető, hogy a többértelmű gyök az egyértelmű gyöknek az általánosítása. Több (páronként különböző) gyök létezése esetén is „gyököt" és n nem „gyököket" vonunk. A különböző gyököket ugyanazzal az f z szimbólummal jelölték, s ez a jelölésmód mindmáig megmaradt. A problémát éppen a jelölés okozza, emiatt ellentmondás lép fel a fogalomban. Te274-