Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1969. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 7.)

Forgassuk a körök közös síkját x

x körül a rajz síkjával párhuzamos síkba. A leforgatottak és képek között affin vonatkozás áll fenn, a vezérkörök metszéspontjaiból, tehát az ellipszisek metszéspontjai affinitással nyerhetők. III. Ha a (23)-as egyenletben e± = l és pi~0, akkor a kúpszeletek metszéspontjai meg szerkeszthetők. Bizonyítás: írjuk be e

1 és p

1 értékeit a (23)-as egyenletbe. Ekkor a következőt kapjuk: x\ + 2x

1b

í + b\ + b\ = [e

2x

í + e

2 b

2 +p

2]'

2 Négyzetreemelés és rendezés után: xl (1 - e\) +x

1(2b

í-2 el b

2 - 2 e

2 p

2) + (b\ + b\ - e

2

2 b\ - p\ - 2 e

2 b

2 p

2) = 0 Vezessük be a következő jelöléseket: M = 1 — el N = 2b

1 -2e\b

t - 2e

2p

2 L = bl + bl — e\b\ — 2 e

2b

2p

2 Ezek felhasználásával az egyenlet: Mx\ + Nx

1 + L = 0 Mivel M, N, L értékek szerkeszthetők, a metszéspontok abcisszái a másodfokú egyenletből megszerkeszthetők. Az ordináták értéke a feltételek szerint nulla. Ezzel a tételt igazoltuk. Összefoglalva: Ha adva vannak az x\ = 0 x\ + x\ = (e

2 x

1 + p

2)

2 kúpszeletek és a koordináták között az x

1 = x

1 + x

2 = x

2 + b

2 lineáris transzformációs kapcsolat van, a metszéspontok meghatározhatók. A feltételek szerint tehát kúpszelet és egyenes (a nagytengellyel, valóstengellyel párhuzamos egyenes) metszéspontjai megszerkeszthetők. Megjegyzés: Minden ilyen metszési feladat reciprocitással is megszerkeszthető. A reciprocitás centrumának a kúpszelet fókuszát választva, a kúpszelet képe kör lesz, az x

2 = o egyenesé pont. A pontból a körhöz húzott érintők visszaállítottjai lesznek a metszéspontok. 294