Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1964. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 2.)

III. Tanulmányok a természettudományok köréből - Dr. Pelle Béla: Az Appendix néhány paragrafusának vizsgálata a maradék axiomarendszer alapján

Bizonyítás: Legyen |AB| J_ AM, akkor AB _L AP-re is a feltevés szerint, legyen továbbá AC JL BN és CE' J BN, akkor AGE' szög < R a feltétel szerint, és legyen AF _L CE\ AF az ACE' síkban van. Legyen az | AB j F és |MA| P síkok metszésvonala AP. Az előző segédtétel szerint az ABF és ABC háromszögekben ABF <£ < ABC <£ . Az |AB| hez tartozó párhuzamossági szög ABC így a 9. 1. tétel szerint AP és BF metszik egymást, tehát az ) MA | P és | NB | D síkok metszik egymást. 2. Ha a BN-re illesztett ß sík merőleges az AM, BN síkjára és az AM-re illesztett a sík is, akkor a és ß nem metszi egymást. A bizonyítás során felhasználjuk a következő segédtételt: Három sík esetében, ha két metszésvonalnak van egy közös pontja, akkor a közös pontra illeszkedik a harmadik metszésvonal is, vagyis a három síknak legfeljebb egy közös pontja van. Bizonyítás: Tegyük fel, hogy a és ß metszi egymást QP-ben. A 7. § szerint ez a metszésvonal párhuzamos AM-mel is. Legyen QA J_ AM, és AC L BN. Ekkor a ß síkban lévő bármely C-re illeszkedő egyenes J_ AC-re. így a QAC síknak és ß-nak CE metszésvonala is merőleges AC-re. Az a, ß és QAC síkok két metszésvonalának AQ és QP-nek van egy közös pontja. A segédtétel értelmében a harmadik CE metszésvonal is illeszkedik akkor a közös Q pontra, vagyis AQ és CE metszi egymást. Ez azonban ellentmond azon tételnek, hogy: „Ha két a és b egyenes ugyanazon harmadik g egyenesre merőleges, akkor az a és b-nek nem lehet metszéspontja.", tehát a feltevés helytelen, vagyis a és ß nem metszi egymást. 11. ábra 498