Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1964. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 2.)
III. Tanulmányok a természettudományok köréből - Dr. Pelle Béla: Az Appendix néhány paragrafusának vizsgálata a maradék axiomarendszer alapján
A párhuzamosság értelmezéséből és az előbbi értelmezésből következük, hogy mindazok a tulajdonságok és tételek, amelyek a nem metsző egyenesek középvonalára igázok, párhuzamos egyenesek középvonalára is érvényesek. így érvényesek a következő tulajdonságok és tételek: b) tulajdonság: Ha BN^ || CP + és BN egy H pontjából merőlegest bocsátunk AM egyenesre és ennek Ta talppontja, akkor a HT egyenesnek az a Q pontja, amelyre | HT | = | TQ | és az elrendezés (HTQ), a CP párhuzamos egyenesen fekszik. c) tulajdonság: Ha a B + || CP + félegyeneseken az egymáshoz korrespondeáló Bj és Q pontokat keressük meg, akkor ezen (Bj Q) szakaszok középpontjainak mértani helye az AM középvonal. A maradék axiómarendszer alapján bizonyított tételek, hogy: „Az egymást nem metsző a és b egyenespárhoz legfeljebb egy középvonal tartozik és az a), b) és c) tulajdonsággal rendelkezik. Ha egy, a b) vagy c) tulajdonsággal rendelkező egyenes létezik, akkor az a) és c), illetve a) és b) tulajdonságokkal is rendelkezik." — és ,,Az egymást nem metsző egyenespárnak van középvonala." (Uo. 103. és 107. tételek.) Ezek alapján kimondhatok a következő tételek: 8. 1. tétel: A BN és CP párhuzamosoknak egy és csak egy AM középvonala van. AM a BN és CP által meghatározott sávban van és nem metszi a BN és CP egyeneseket. 8. 2 tétel: Az AM középvonal az a), b), c) tulajdonságokkal rendelkezik, sőt ha ezek egyikével rendelkezik egy egyenes, akkor a másik kettővel is. 8. 3. tétel: Ha a középvonal tetszőleges két pontjában merőlegest állítok AM egyenesre, akkor a párhuzamosokból lemetszett szakaszok egybevágók. 8. 4. tétel: A B ponthoz az egyetlen korrespondeáló C pontot úgy kapjuk, hogy a B pontot tükrözzük az AM középvonalra. Ennek következménye a: 8. 5. tétel: Ha a középvonalra egy pontjában merőlegest állítunk, akkor ez a párhuzamosokat egybevágó szögekben metszi. — „Ha A és B az egymást nem metsző a, b egyesnespárnak egy korrespondeáló pontpárja, akkor az | AB | szakasz merőleges f élező je az egyenespárnak középvonala." — tételnek a megfelelője (uo. 104. tétel): 8. 6. tétel: Ha a BN + l| CP + párhuzamosoknak a B és C egy korrespondeáló pontpárja, akkor a (BC) merőleges felezője a párhuzamosoknak középvonala. 8. 7. tétel: Ha BN+ || CP^, akkor az AM középvonalra is AM+ || BN + és AM + || CP + (feltéve, hogy M a (BAC) ugyanazon oldalán van, mint N és P). Bizonyítás: A 8. 1. tétel értelmében AM nem metszi a BN és CP egyeneseket. A PCBN síktartományban levő bármely BQ metszi CP-t. 494
