Az Egri Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1964. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis ; : Nova series ; Tom. 2.)

III. Tanulmányok a természettudományok köréből - Dr. Pelle Béla: Az Appendix néhány paragrafusának vizsgálata a maradék axiomarendszer alapján

AZ APPENDIX NÉHÁNY PARAGRAFUSÁNAK VIZSGÁLATA A MARADÉK AXIÓMARENDSZER ALAPJÁN Dr. PELLE BÉLA I. Ebben a dolgozatban Bolyai Appendixének néhány paragrafusát dolgozzuk fel a maradék axiómarendszer alapján. Bolyai az egyes paragrafusokban azokat a tételéket dolgozza ki, amelyeket valamilyen formában felhasznál a későbbi tételek bizonyításában. A megjegyzéseiből és ahogyan az egyes tételeket felhasználja az következik, hogy ezek kidolgozása általánosabban is meg volt. Ö abból csupán azt emelte ki és tette közzé, amely a felhasználandó tételt legtömörebben tartalmazza. Mi, e néhány idézett paragrafus során azt mutatjuk be, hogy mennyivel szélesebb területet ölel az fel, és hogy az egyes tételek a maradék axiómarendszer alapján levezethető tételek speciális eseteiként említhetők, vagyis ezek a Geometria alapjaiban a maradék axiómarendszer alapján kidolgozott tételek rendszerébe helyezhetők. II. Bolyai a 4. §-ban a következő tételt bizonyítja: „Ha MAN < > MAB <C, akkor az AB- * minden B pontjához megadható olyan C pont az AM^-en, hogy BCM < = NAM <£." E tételt ilyen megfogalmazásban a későbbiek során nem használja fel, hanem — mondhatnánk — ennek egy következményét alkalmazza az 5. §-ban. E tétel nem kívánja meg a párhuzamosság értelmezését. Bolyai azért tárgyalja itt, mert a szigorú logikus felépítése során szüksége van rá — ha nem is az eredeti megfogalmazásban — az 5. §-ban. E tétel helyett a következő általánosabb tétel is kimondható és bizonyítható a maradék axiómarendszer alapján: 4. 1. tétel: Az MAN <£-höz az AM egyenes kijelölt oldalának bármely B-pontján át egy és csak egy olyan félsugár tartozik, hogy * Megjegyzés: A +-jel félegyenest jelöl. Pl.: AB- - AB félegyenes. 491