Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1998. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 25)

KIRÁLY B. ÉS OROSZ GYULÁNÉ: Egy euklidészi gyürü

74 Király Bertalan és Orosz Gyuláné egyenlőségből kapjuk, hogy (4) 1 = xz"

1 = aßg

k+

nx'y' = aßg

k+

n( 1 + óig*). 0 <i£Z Mivel x',y' és x'y' a T[g) elemei a (4) csak abban az esetben teljesül, ha x' — y' - 1. Tehát x = ag

k és y — ßg

n. 3. Lemma. A T(g) csoportgyűrűben az asszociált elemek normáltja megegyezik. Azaz, ha x ~ y, akkor x' = y'. Bizonyítás. Ha x ~ y, akkor található olyan e (e £ U(T(g))), hogy x — ey A 2. Lemma szerint e — 7g

m (7 £ T, m 6 Z). Evidens, hogy e' — 1. Ekkor az 1. Lemma értelmében s' = (ey)' = e'y' = y'. 4. Lemma. A T(g) nullosztómentes gyűrű. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy x és y nem nulla T(#)-beli elemek és xy — 0. Ekkor felhasználva az x és y elemek x = ag

kx' és y = ßg

ny' (aß 6 T, k,n £ Z) előállítását normáltjaik segítségével, az xy = 0-ból az xy = aßg

k+

nx'y' = 0 következik. Mivel aßg

k+

n £ U(T(g)), innen az x'y

1 — 0 egyenlőséget kapjuk. Ez ellentmondás, mert x' ^ 0, y

1 ^ 0 és x',y' £ T[g]. Jelöljük Z

+-szal a nemnegatív egész számok halmazát. Definíció. Az R integritástartomány euklidészi gyűrűnek nevezzük, ha létezik olyan (f:R \ {0} leképezés, hogy minden a, b £ R \ {0} elempárra igaz a ip(ab) > (p(a) egyenlőtlenség. Továbbá, tetszőleges a és b ^ 0 i?-beli elemekre teljesül a következő egyenlőség: (5) a = bq -f r, ahol vagy r — 0, vagy íp(r) < <^(6), (r, q £ R). A íf leképezést euklidészi normának, az (5)-öt pedig euklidészi osztásnak nevezzük.