Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1998. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 25)

KIRÁLY B. ÉS OROSZ GYULÁNÉ: Egy euklidészi gyürü

72 Király Bertalan és Orosz Gyuláné Az a elemet a b (a, b £ R) asszociáltjának nevezzük, ha a = eb valamely £ £ U(R) elem esetén. Ezt a ~ 6-vel jelöljük. Könnyű belátni, hogy a ~ ekvivalenciareláció az R-en. Ezért a továbbiakban úgy is mondhatjuk, hogy az a és b elemek asszociáltak. Definíció. A T(g) csoportgyűrű x' = 1 + ^ (*i9

l, € T o<i ez alakú elemeit normált elemeknek nevezzük. Világos, hogy ha x' normált elem, akkor x' £ T[g] C T(g). 1. Lemma. A T(g) csoport gyűrűben igazak a következő állítások: 1. Minden x / 0 T(g)-beli elemhez létezik olyan egyértelműen meghatározott x' normált elem, hogy x ~ x' és egy megfelelő a (a £ T) és egy meghatározott k egész számmal teljesül az (2) x = ag

kx' egyenlőség. Az x' elemet az x normáltjának fogjuk nevezni. 2. Ha x' és y' normált elemek, akkor az x'y' is normált elem. 3. Tetszőleges nem nulla x,y T(g)-beli elemek esetén igaz az (xy)' = x'y', egyenlőség. Bizonyítás. 1. Legyen x £ T(g). Akkor az (1) szerint x előállítható x = a

{g\ a

t £ T iez alakban, ahol csak véges sok a; / 0. Legyen k = min-fí) x' = «íV** = <xl

l9~

kY.

aig

l = 1 + iez -ez Mivel i — k > 0, az x' elem felírásában a </-nek csak nemnegatív hatványai szerepelnek. így ®' = i+ Y, w 0 oez