Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1997. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 24)

RÓKA S.: Független metszőrendszerek II

Független metszőrendszerek II. RÓKA SÁNDOR Abstract. (Independent intersection systems) Definition 1 gives the meaning of independent intersection systems, which is similar of the meaning of separating systems (theorem 5), which is discussed by others (see for e.g. [2-8]). If the number of the elements of the intersection systems on the n-element set is 77i, then c

x log

2 n<m<c

2n

2

. There bounds can not be sharpened. Theorems 3 and 4 are related to uniform systems. 1. Definíció. A\, A

2,..., A

m az n-elemű H halmaz részhalmazai független metszörendszert alkotnak, ha (1) Va; 6 H előáll A; metszeteként; (2) Az Ai, A

2,..., A

m rendszerből bármely A

t-t elhagyva (1) nem teljesül. 1. Tétel. Ai, A

2,..., A

m pontosan akkor független metszörendszer, ha Ai, A

2,..., A

m is független metszörendszer. Bizonyítás. Legyen H = {x

í

:x

2,...,x

m), X, = {z J, i = 1, 2,... , n. Tegyük fel, hogy Aj, A

2,..., A

m független metszörendszer. Megmutatjuk, hogy például X\ előállítható az Ai,A

2,...,A

m halmazokból néhánynak a metszeteként. Xi = H \ {X

2 U X

3 • • • U X

n} = A"

2 U X

3 U • • • U X

n = = xínxin"-nX;= ( f| A, j n ( f| A

{ j n-.-n ( f| A

{) = \»e/

2 / \ieh / \iein / = I |jÄ7jni|jÄ~Jn---nl |JÄ~J = u(Ä~nÄ~n • •• n ~Ä~) \iel

2 / \i€h ) Vi6/» / Mivel X\ egyetlen elemből álló halmazt jelentett, így az unió tagjainak valamelyike egyenlő Xi-gyel. Látható, hogy az Ai,A

2,...,A

m és az Ai,A

2,...A

m rendszerek egyszerre rendelkeznek az (1) tulajdonsággal, és ebből adódóan a (2) tulajdonsággal is. •