Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)

KlRALY, B., The Lie augmentation terminals of group

72 Veres Zsuzsanna. fokánál. 2. Lemma. Ha t(x) £ Z

p2[x] egy olyan polinom, melynek főegyütthatója nem osztható p-ve 1, akkor tetszőleges f(x) polinom (f(x) £ Z

p2[x]) feh'rható a következő alakban: f(x) = t(x)s(x) + ahol ő(x),r-(x) £ Z

p2[x] és degr(x) < degí(a:) Bizonyítás. Legyen f(x) = a

nx

n + a

n_ix

n~

l H + a

xx + a

0 t(x) = b

kx

k + + • • • + b

xx + b

0. Ha k > n akkor f(x) = t(x)0 + f(x) és ebben az esetben a lemma be van bizonyítva. Tekintsük a k < n esetet. Mivel p nem osztja a együtthatót, 1 1 . * ezért a

nb^ ^ 0, ahol b^ a b^ inverze. így az n(s) = f(x) - a

nb^x

n~

kt(x) polinom foka kisebb f(x) fokánál. Tehát f(x) — (a;) + r*i (#) alakú, ahol ái(x) = a

nb^

1 x

n~

k. Ha degri(rc) < deg t(x), akkor a lemma bizonyítást nyert. Ha deg rx(x) > deg t(x), akkor megismételve az előző eljárást az ri(z) polinomra, a következő egyenlőséget kapjuk ri(z) = í(a;)s

2(®) + r

2{x), ahol degr

2(x) < degrxfx). Ezt az eljárást addig folytatjuk, míg eljutunk egy olyan T{{x) polinomig, melynek foka már kisebb a t(x) polinom fokánál. így f(x) = t(x)si(x) + í(z)s2(z) + h t(x)si(x) + Ti(x), és ezért f(x) = t(x)s(x) + r(z), ahol = 5i(a:) + 5

2(x) + • • • + s^z), r(x) = TÍ(X) és deg r(:r) < deg t(x). 3. Lemma. A Z

p2[x] pohnomgyűrü tetszőleges ideálja legfeljebb két polinommal generálódik. Bizonyítás. Legyen / a Z

p2[x] polinomgyűrű ideálja és f(x) az I ideál tetszőleges eleme. Elégséges megmutatni, hogy az f(x) polinom felírható f(x) = h(x)s(x) + g(x)q(x)