Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1995-1996. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 23)

M. MLGNOTTE és PETHŐ A.: AZ an + bn = z3 diofantoszi egyenletről

46 Maurice Mignötte és Pethő Attila egyenlet megoldásainak megkeresésével Mignotte [6] foglalkozott. Dolgozatunkban az ő módszerét finomítva és az (1) egyenletre alkalmazva bizonyítjuk az alábbi tételt: Tétel. Ha az a, b, n, z pozitív egész számokra n > 1, a < 6, a-\-b < < 16, (a, b) = 1 és (1) teljesül, akkor (a, 6, n, z) = (2,11, 2, 5). Megjegyzés Az a + 6 < 16 feltétel csak technikai jellegű, arra szolgál, hogy dolgozatunk ne legyen túl terjedelmes. Mint látni fogjuk módszerünk, amelyik több eljárás kombinációja, alkalmazható tetszőleges rögzített a és b mellett (1) megoldásainak a meghatározására. Számítógéppel megvizsgáltuk az (1) egyenlet megoldhatóságát modulo 9, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 127, 181, 211, 331, 397, 421, 463, 73, 79, 97, 241, 313, 337, 547, 673, 859, 937. Azt tapasztaltuk, hogy az 1 < a < b < 1001 intervallumban, az (a, b) = 1 feltételnek eleget tevő számpárok közül, ha a+b vagy a

2 + b

2 nem köbszám, akkor (1) nem megoldható. Amennyiben a + b vagy a

2 -f b

2 köbszám, akkor pedig néhány esettől eltekintve n = 1, illetve 2 (mod 1441440). Ezek a tapasztalati tények azt sejtetik, hogy ha valamely a, b párra (1) teljesül, akkor n < 3. Segédtétel 1. Ha 3 | n, akkor (l)-nek nincs triviálistól különböző megoldása. Ez Euler tétele. Bizonyítását lásd például a Túrán—Gyarmati [13, T. 10.9] jegyzetben. Segédtétel 2. Ha a = 1 és n > 1, akkor (1) nem oldható meg. Ezt a tételt Nagell [8] bizonyította. Legyen a d-ed fokú a algebrai szám definiáló polinomja aoX

d + • • • + cidJelöljük a konjugáltjait ai,..., a^-vel. Ekkor az a abszolút logaritmikus magasságán a számot értjük. Ezzel a jelöléssel meg tudjuk fogalmazni a következő, Mignotte és Waldschmidtől [7] származó tételt. Segédtétel 3. Legyenek a és ß egy D-ed fokú K algebrai számtest elemei a, b £ Z, |a| , |6| < B és 2. Segédtételek A = a log a + b log ß.