Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

PHAM VAN C.: Az f(n + a) + f(n + b) + f{2n - 1) + f(2n + 1 ) = c egyenlet teljesen additív megoldásai

Az f(n + a)+ f(n + b)+ /( 2 - l) + f{2n + 1 ) = c egyenletet. 5 Mivel q > M (a, b) miatt max —— + a, —— + b, q - 2 \ < q , így az indukciós feltétel miatt a fenti egyenlőségből f{q) = 0 következik. Az előző tétel felhasználásával bebizonyíthatjuk a következő állítást. 2. Tétel. Ha jaj , |6| < 5 és (1) fenáll minden n > max{ —a, —6, 0} esetén, akkor f = o. BIZONYÍTÁS. AZ alábbiakban megadjuk, hogy adott a és b értékek esetén mely értékeket kell az (1) egyenletbe helyettesíteni, hogy az additivitást felhasználva olyan egyenletrendszert kapjunk, amelyben p < M(a,6) < 13 prímszámokon felvett függvényértékek az ismeretlenek, és ( — c) is ismeretlenként szerepel. A kapott homogén lineáris egyenletrendszer mátrixa négyzetes, így csak. triviális megoldása van, ha a determinánsa nem 0. így c = 0 és f(p) = 0 minden p < 13 prímre. Most térjünk rá a konkrét a és b esetekre, a = b = 0 esetén az (1) a következő alakban írható: (2) 2f(n) + f{2n - 1) + /(2n + 1) = c. Legyenek X! - /(2) x

2 = /(3) x

3 = /(5) x

4 - /(7) x

5 = /(11) x

6 = /(13) x

7 = -c Az n=l,2,3,4,5,6 és 7 választásokkal a (2)-ből a következő 7 ismeretlenes egyenletrendszer adódik: X2 + x

7 = 0 2xi + X2 + Z3 + x

7 = 0 2x

2 + + X4 + x

7 = 0 4xi + 2x

2 + X4 + x

7 = 0 2X2 + 2x

3 + Z5 + x

7 0 2xi + 2x

2 + X

5 + x

6 + X

7 0 X2 + 23 + 2X4 + X

6 + x

7 = 0 Az egyenletrendszer determinánsa —18, így pedig csak triviális megoldása van, azaz f(p) = 0 valamennyi p < 13 prímre és c = 0. Az 1. Tétel alapján innen / = 0 következik. A további jaj < 5, |6| < 5 esetekre a helyettesítendő n értékeket a következő táblázat tartalmazza. (Megjegyezzük, hogy néhány esetben elegendő a p < 7 prímekre megmutatni, hogy f(p) = 0.)