Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

LIPTAI K.: KÖZÖS elemek másodrendű rekurzív sorozatokban

Közös elemek másodrendű rekurzív sorozatokban LIPTAI KÁLMÁN* Abstract. (On common terms of linear récurrences) In the paper we investigate the common terms of linear récurrences G(2UQ

: 1, 0, 1) and i?(2VQ : 1, 0, 1). We prove that these récurrences have finite common terms if UQ < VQ and UQ ^ 1. Legyen F

(C

: D, F

0, Fi) = {F

n}£l

0 az egész számok egy másodrendű lineáris rekurzív sorozata, melyet az FQ,FI kezdő elemekkel és az Fn = CF

n_i + DF

n„

2 (n > 1) rekurzióval definiálunk, ahol C és D adott egész számok. A továbbiakban előforduló másodrendű lineáris rekurzív sorozatokat hasonlóan definiáljuk. Legyen G = G{A, P, GQ, G\ ) és R = R(A, P, két másodrendű lineáris rekurzív sorozat, amelyeket ugyanazok az A,B konstansok definiálják. Jelöljük a és /5-val a sorozatok x

2 - Ax + B definiáló polinomjának gyökeit, ahol nyüván feltehetjük, hogy |a| > \ß\. A két sorozat közös elemeinek halmaza végtelen, ha G és R ekvivalens sorozatok (vagyis ha G

n+

r = R

n+s minden n > 0 egész esetén, valamely rögzített r és 5 természetes számok mellett). Nem ekvivalens sorozatok esetén Kiss Péter [3] bizonyította, hogy \ß\ < 1 esetén, nincs olyan közös elemük, amelyek indexei nagyobbak egy meghatározott konstanstól. J. Binz [1] a G(6,1, 0,1) és az P(10,1, 0,1) sorozatokról bebizonyította, hogy csak egy közös elemük létezik. A bizonyításban felhasználta a másodrendű rekurzív sorozatok és a Pell egyenletek kapcsolatát, többek között Edgar I. Emerson [2] azon eredményét, miszerint az Z

2 - Dy

2 = 1 A kutatást a Kereskedelmi Bank Rt. Universitas Alapítványa támogatta.