Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

MÁTYÁS F.: K-adrendű általánosított Farey—Fibonacci sorozat, és tagjai logaritmusának eloszlása

42 Mátyás Ferenc 1. Tétel. A (2)-t kielégítő G sorozatból képzett FG

k végtelen sorozat egyértelműen előállítható, továbbá az FG

k sorozatban — legfeljebb véges sok tagtól eltekintve — k + 1 (a Lemma a) esetében k) darab szomszédos tört számlálójában, ill. nevezőjében álló indexek különbsége rendre állandó, k + 1 (ill. k) törtenként e különbség eggyel nő. Megjegyzés. E tétel állítását demonstrálandó álljon itt példaként a Lemma b) esetének megfelelő FG

k sorozat, elhagyva az egynél kisebb értékű véges sok törtet: Ci Gz G s Gq G\ G 2 G

' ' ' z"

1 1 ' o O

2 O4 O3 L?! (4) C

2 G

4 Gq GI G s G 3 G 3 G 5 Gi Gs GQ G 4 OQ O4 O5 O3 CJI üro 0

4 O3 Oi 2. Tétel. A (2) feltételt kielégítő G sorozatból képzett FG

k végtelen sorozat — véges sok tagtól eltekintve — előállítható k + 1 (ill. k) darab olyan végtelen részsorozat egyesítettjeként, hogy az egyes részsorozatok tagjainak nevezője azonos, a számlálóban pedig — a G sorozat véges sok tagjától eltekintve — minden G

n szerepel, továbbá e részsorozatok (részhalmazok) diszjunktak. A FG

k sorozat tagjainak logaritmusaiból képzett log

c(

JFG)t) sorozat moduló 1 egyenletes eloszlására ad választ a következő tétel: 3. Tétel. A (2)-t kielégítő G sorozatból képzett log^FG/c) sorozat akkor és csakis akkor modulo 1 egyenletes eloszlású, ha log

c a irracionális szám. A továbbiakban rátérünk a bizonyításokra. A Lemma bizonyítását itt nem részletezzük, mivel az állítás, a), b) és c) részének a bizonyítása [7]-ben, míg a d) és e) bizonyítása [8]-ban megtalálható. AZ 1. TÉTEL BIZONYÍTÁSA. AZ FG

k végtelen sorozat minden tagja megtalálható a Lemma által — alkalmas n-esetén — adott 0 és 1 közötti törtek, ill. ezek reciprokai között. Mivel a Lemma-beli sorozatok előállítása egyértelmű, ezért az FG

k minden tagjának a sorozatbeli helyzete is egyértelmű, azaz FGk egyértelműen létezik. Ugyancsak a Lemmából adódik, hogy legfeljebb véges sok olyan tört van az a), b), c), d) és e) sorozatokban, melyekre nem teljesül a (3) képzési szabály, így e törtek reciprokam túl az FG

k sorozat a kivánt tulajdonságú lesz. Az m indexdifferenciájú törtek száma k -f 1 (ill. k), mivel ennyi