Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)
MÁTYÁS F.: K-adrendű általánosított Farey—Fibonacci sorozat, és tagjai logaritmusának eloszlása
40 Mátyás Ferenc A (2) feltételnek megfelelő G sorozatból képzett G,/G ; (0 <Z<J <A:) törtek növekvő sorrendben írt sorozatát a későbbiekben szereplő Lemmában idézzük. Ha a GÍ/G, törtek esetén 0 < i < j < k feltétel helyett a0<i,i/ j > 0 < j < k (k legyen egy rögzített természetes szám) feltételeket tekintjük, akkor a G./Q. törteknek egy végtelen sorozatához jutunk. Erről szól az alábbi definíció: A GÍ/G, törtek növekvő sorrendben írt sorozatát &-adrendű általánosított Farey—Fibonacci-típusú sorozatnak nevezzük és FG^-val jelöljük, ha a nevezőben szereplő Gj tag indexe legfeljebb k lehet.. Megjegyzendő, hogy az FG K végtelen sorozat tagjai úgy állnak elő, hogy a G sorozat minden G N{N — 0,1,2 ...) tagját elosztjuk a GQ, G\ ..., G K számok mindegyikével, majd az így kapott GÍ/G, {I í j) törteket növekvő sorrendbe rakjuk. Jelen dolgozatban a fenti FG K sorozatokkal, illetve e sorozat tagjai logaritmusainak modulo 1 egyenletes eloszlásával foglalkozunk. Ez utóbbin a következőket értjük. A valós számok (x n)^L 0 sorozatát modulo 1 egyenletes eloszlásúnak nevezzük, ha a egyenlőség a [0,1) intervallum bármely [a,b) részintervallumára teljesül, ahol {x n} az x n valós szám törtrészét jelöli és n < TV. Egy (x n)£L 0 sorozat modulo 1 egyenletes eloszlásának vizsgálatakor jól használható J. G. van der Corput [5]-ben található elégséges feltételt adó tétele: Ha (x n)^_o a v alós számok olyan sorozata, melyre a lim (x n+i — x n) határérték létezik és irracionáli szám, akkor az (x n)n=o sorozat modulo 1 egyenletes eloszlású. Pozitív tagokból álló lineáris rekurzív sorozatok különböző alapú logaritmusainak modulo 1 egyenletes eloszlásával többen foglalkoztak, így pl.: R. L. Duncan [3]; J. L. Brown, Jr. és R. L. Duncan [2]; L. Kuipers és J. S. Shiue [6]; Molnár S. [9]; P. Kiss és R. Tichy [4]; L. Kuipers és H. Niederreiter Ahhoz, hogy a (2) feltételnek megfelelő G sorozatból előállíthassuk az FG k végtelen sorozatot, szükségünk lesz az alábbi lemmára. Lemma. Legyen G a (2)-t kielégítő sorozat. A Gí/G, (0 < i < j < n) törtek nagyság szerint növekvő véges sorozata: a) ha GQ = 0, 0 < i és 3 < j < n, akkor {x n}G[a,6) [5], G I G 2 G I G 2 GI GI G\ G 2 "n n i tr n_i ^ n-2 <7n-2 ^n-3 ^ n-1
