Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

PHAM VAN C.: Az f(n + a) + f(n + b) + f{2n - 1) + f(2n + 1 ) = c egyenlet teljesen additív megoldásai

Az /( n+ a) + f(n+b)+f(2n-l)+f(2n + l) =c egyenlet teljesen additív megoldásai PHAM VAN CHUNG Abstract. (Completely additive solutions of the équation f[n -f- ö) + /(n + 6) + /(2n — 1) -f /(2n -f- 1) = C) I. Kátai [1] proved that if <2, b are positive integers and fii /2) /3 ar

e completely additive functions satisfy fi(n-a) + f

2(n) + f

3(n + b) = 0 for every 71 > û + 1, then for every prime p > max{3, a + 6} the values fi{p), /2(7?), /3(7?) are determined by the collection of the values /i

(ç), /2(9), /3

(ç) taken on at primes q < max{3, a + 6}. Our purpose in this paper is to consider solutions of those completely additive functions which satisfy f(n + a) + f(n + 6) + f(2n - 1) + /(2n + 1) = c for all integers Ti > max{ —a, —6,c}, where a, b G Z; C Ç R. By using I. Kátai's method we show that in the case |ö| , |6| < 5 with the choice of some values n and solving a linear équation system one conclude C = 0 and / = 0. A természetes számok halmazán értelmezett függvényeket számelméleti vagy aritmetikai függvényeknek nevezzük. Ebben a cikkben függvényen mindig számelméleti függvényt értünk. Definíció. Az / számelméleti függvényt additívnek nevezzük, ha f(ab) = f(a) + f(b) minden (a, b) = 1 számpárra. Ha a fenti összefüggés minden a, b természetes számra érvényes, akkor teljesen additív függvényről beszélünk. Ismert tény, hogy ha n — p^p^

2 • • - p\

k, akkor additív /-re /(1) = 0 és f(n) = f(p[

l ) + ... + f(pl

k ). Látható, hogy ezeket a függvényeket a prímhatvány helyeken felvett értékeik teljesen meghatározzák, teljesen additív esetben pedig már a prím helyeken felvett értékek.