Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1994. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 22)

ZAY B.: A Fibonacci-szósorozatok egy általánosítása II

A Fibonacci-szósorozatok egy általánosítása II. 25 BIZONYÍTÁS. AZ F(*) definíciójából adódó . v „(

f

c) _ í 1, ha 2 - k < m < 0, K } m \ 0, ha 3 - 2k < m < 1 - k értékek és (23) alapján minden y (0 < y < k)-ra T t.. x _ /1» y < i < k, \ _ m ha 1 < î < y j-'l-k-y+i teljesül. Ez pedig a (2)-böl kővetkező L(PI,Í(V)) = L(VÍ), (1 <i<k) egyenlőségek miatt azt jelenti, hogy teljesül az előző lemma (21) feltétele az n

0 = 1, <7 = 1 — k — y értékekkel, így (22) is igaz, de ez most (a helyettesítések elvégzése után) azonos (24)-el, így az állítást igazoltuk. A 2. tétel bizonyítása. [4]-ben értelmeztük az f(x) = x

k — x

k~

l — 1 karakterisztikus polinommal és az ç _ í 1, ha n = 0, n ~ \ 0, ha 1 < n < k - 1 kezdőértékkel rendelkező S = {^nj^o lineáris rekurzív sorozatot, és igazolk tuk, hogy az S sorozat n-edik eleme S{n) = ^ ^a" exphcit előállításában t=i szereplő konstansra 6! = (a

k + k-l)~

1 teljesül, ahol ot\ az f(x) polinom egyetlen pozitív valós gyöke. (25)-ből, F^

k_}

2

k = 1-ből és S definíciójából minden m (m > -2fe + 2)-re Fm

) = Sm+2(k-l) következik. A (9) feltétel azonos (23)-mal, ezért a 4. Lemma alapján L{P

n, l(ü)) = i

riy

)

+1 + (

n_

2)(fc_i) = S-y+l+n(/c-l) = <

2

6) * t=i t=

i í=i