Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Liptai Kálmán: Pell egyenletek megoldása lineáris rekurzív sorozatok segítségével

ahol a = •u

0+^[Dv

0 és ß=u

0-y[Dv

0. Jól ismert, hogy ha G = G(A,B,G

Q,G

1) egy másodrendű rekurzív sorozat és a és ß a sorozat (7) f(x) = x

2-Ax+B karakterisztikus polinomjának két gyökét jelöli, akkor a G sorozat tagjai (8) («=1,2,...) aß alakban is megadhatók, ahol b = G

x- GJ3 c- G

{-G

0a. Azaz x

n és y

n tekinthető egy x(a,B,x

q,x

x) ésY{másodrendű rekurzív sorozat n-edik elemének. a és ß ismeretében az A és B konstansok meghatározhatók. Az aß=Bes a+ß=A egyenletekből B-1 és A = 2u

0 következik, mert esetünkben Aß= (U

0 + JDV

0){U

Q - VDV

0) = W

0

2 - Dv

0

2 = 1 és a + ß= 2 u

0 . Az (5) és (6) egyenlet segítségével x

l,y

í meghatározható: (9) x

x = x

Qu

0 + Dy

0v

0 és (10) y

l = x

0v

0 + y

0u

0 adódik. Ekkor az X és Y másodrendű rekurzív sorozatok egyértelműen meg vannak határozva. Az Xn+1 ~ A^n ~ B

Xn-l = ^

UQ

Xn " X n-l 20