Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1993. Sectio Mathematicae. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 21)

Tómács Tibor: A rekurzív sorozatok egy alkalmazásáról

és n = rF

2

mF

2

m^ (m> l) , ami triviális választás. Hasonlóan bizonyíthatjuk az állítást a (2) és (3) egyenletekre is. 1. Tétel bizonyítása: Az (1) egyenlet diszkriminánsa D

] = (w + 2 rf + 4 n(n + r) = n

2 + (2 (n + r))

2 Racionális gyökök esetén, és csak akkor D

x négyzetszám, Z), =/

2, ahol t egy pozitív egész. Ekkor [n,2(n+r)j] pitagoraszi számhármas. Reprezentáljuk [g

2 -h

2,2gh,g

2 +/*

2] alakban. Ekkor n = g

2 -h

2 és 2(n + r) = 2gh miatt (7) g

2-gh~{h

2-r) = 0 következik, ami g-re másodfokú egyenlet Legyen a diszkriminánsa s

2. Ekkor =h

2 +4(h

2-r) = 5h

2-4r illetve (8) s

2 - 5h

2 = —4r . A tételben szereplő [R

k} sorozat esetén A = B=\ és D-A

2 + 4B - 5, ezért (6) miatt G

2

k-5R

2

k ={~l)

k4r minden k > 1 egész esetén. 5 = G

2m+

] és h = R

Zm+

] választással, ahol m>0egész, (8) teljesül és (7) alapján, (5) felhasználásával 10