Az Eszterházy Károly Tanárképző Főiskola Tudományos Közleményei. 1991. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 20)

Kiss Péter: A Lucas számok prímosztóinak egy tulajdonságáról

- 16 p|R

r(p

), de pfR^ , i=l,2,...,rCp)-l. Az is jól ismert, hogy nincs a sorozatban p-vel osztható tag, ha p|B és CA,B>=1 Cilyenkor rCp)=<*> megállapodással élünk>, továbbá p-fB esetén rCp) jjCp - CD/p>5 , ahol D=A

2+4B és CD/p> a Legendre szimbólum CD/p>=0 a p|D esetben kiterjesztéssel Clásd pl. D.H. Lehmer [4]). Az előzőekből következik, hogy rCp) ^ p-CD/p) £ p+1, ezért nyilván rCp)/p ^ ^ ^ minden p^B primszám esetén. De Cl] és [21 eredményeiből következik, hogy r(p)/p tetszőlegesen' kicsi is lehet. 131 —ban rCp>/p átlagértékeire a következőket kaptuk: léteznek c^ c

2, c

3, c

4 pozitiv abszolút konstansok ugy, hogy r t „ R X , rr r

Cp

) s „ . X C

1> ci TST^ < 2 ~P < c2 Tőg~x p^x <" -3- isrSr <2 < -v « r(p)í* » minden elég nagy x—re. Mivel az x-nél nem nagyobb primek száma aszimptotikusan x/log x és, mint ahogy majd látni fogjuk, az rCp? £ x feltételt kielégítő primek száma legalább Cl-e)x bármely c>0 esetén, ha x elég nagy, ezért Cl) és C2> jobboldalából csak az következik, hogy r(p>/p átlagértéke kisebb mint egy konstans. A következőkben jobb becslést adunk rCp)/p és p/rCp) átlagértékeire. A következőt bizonyítjuk: TÉTEL. Legyen x egy pozitiv valós szárn és o(x) azon primek száma, melyekre rCp) ^ x. Ekkor bármely c > 0 esetén (3) h • 5 rfpT > {?. - ") ' * o(x) r (p)