Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)
II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - Szepessy Bálint: Megjegyzések a valós függvények iterálásához III. (A tetszőleges magasrendű ciklusokról)
A SEGÉDTÉTEL BIZONYÍTÁSA. Először azt látjuk be, hogy ha [u, v] = g tetszőleges részszakasza a z[e, b] szakasznak, akkor mindig van q_ 1 C [e, d] szakasz, amelyre (e.jb = p. Mivel az [e, d] szakaszban f(x) minden értéket felvesz e és b között és e u < v ^ b, ezért mind az u, mind v pontnak van az [e, d] szakaszban (legalább egy-egy) inverz-iterált pontja. Tekintsük a v pont [e, d] szakaszbeli inverz-iteráltjai közül azt, amelynek abszcisszája a legkisebb és jelöljük ezt v^-gyel. Tehát v_! = min{x}, f(x) = v. Az u pontnak az [e, d] szae<x<v kaszbeli inverziterált pontjai közül a v_ 1től balra, a hozzá legközelebb esőt választva legyen ennek abszcisszája u_ 1; azaz u_ x = max {x}, f(x) = u. e<x< v Könnyű megmutatni, hogy = [u_ l, v_ t]szakasz első iteráltja az [u, v] = q szakasz. Ismert ugyanis, hogy az [a, b] valamely zárt g részszakaszának első iteráltja a [min f(x), max f(x)] szakasz. Márpedig min f(x) = f(u_ x) = u; X £ e x £ e x (; <?-l hiszen ha a szakasz belsejében lenne olyan p pont, hogy f(p) u teljesül, akkor — az f(x) folytonossága következtében — lenne olyan r pont is amelyre f(r) = u teljesül és p < r < v_ l t ellentétben azzal hogy u_ x = max {x}, e<x< v f(x) = u. Hasonlóképpen látható be az is hogy max f(x) — fív.j) = v. Tehát (g.iK = [u_!, v_ 1] 1 = [u, v] = o teljesül. x €e_i Ennek megfelelően a a szakaszból kiindulva képezhetjük a o ,_ 1 szakaszt, majd eljárásunkat folytatva a a_ 1 szakaszból kiindulva a a_ 2 szakaszt, . . . ; s így előáll a cr_ n (n = 1,2. . . .) végtelen szakaszsorozat, amelyre nézve (e_n)l = O--(n-l)Még azt kell megmutatni, hogy bármely két ilyen inverz-iterált szakasznak nincs közös belső pontja. Ezt indirekt bizonyítással igazoljuk. Tegyük fel, hogy o_ n és cr_ n_k (k pozitív egész) olyan szakaszpár, amelynek mindkét szakaszában közös belső pontok vannak; akkor e pontok első iteráltjai a cr_ n+ 1 és a o" nj szakaszok közös pontjai lesznek, és folytatva eljárásunkat azt nyerjük, hogy a (ff_ n) n = ffés a cr_ n_ k+ n = or_ ki y közös belső pontú szakaszok. Ez azonban lehetetlen, mert cr-nak nincs d-től balra eső pontja, o-_k-nak pedig minden belső pontja d-től balra van. Ezzel a segédtételt bebizonyítottuk. Ezután a tétel bizonyítását a következőképpen folytathatjuk. A segédtétel szerint kialakított <7_ n (n = 1,2,3 . . .) szakaszsorozatra nézve (tf_ n) n = a és így (c-n)n+i — = t a> b]. Az f n +i(x) függvény tehát a c_ n szakaszt az [a, b] szakaszra képezi le, amiből következik, hogy vannak olyan s, t£ fr_ n pontok amelyekben f n+ ](x) rendre az a és a b értéket veszi fel; f n+ 1(s) = a, f n+ i(t) = b. E két pont által határolt cr_ n-ben fekvő [min{s, t}; max {s, t}] szakaszban az f n+ 1(x)-x (folytonos) függvény minden értékeit fölvesz, tehát (S) S — cl — S 6S cXiZ f n +i(t) — t = b — t értékek között. Mivel ezek különböző előjelűek, azért van az f n+ 1(x) —x függvénynek o"_ n-ben 0-helye; azaz van olyan r pont, amelyre f n + 1(r) = r (r£ or_ n) teljesül. Ez a pont tehát legfeljebb (n+ 1) -edrendű fixpont. Hogy éppen n + 1 a rendszáma az abból következik, hogy az r> rl> r2> • • • > rn—1> rn pontok rendre a er_ n, cr_ n +1 er_ n+?> • • •, a 337
