Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - H. Molnár Sándor: Másodrendű lineáris rekurzív sorozatok tagjainak szinuszairól

Az a+/9 = A azonosság felhasználásával 2(Ci-o

a/?) + (d

1-d

a/?) (G

t-G

o

i5)a

e 2(C

3 + c

2tx) + d

x - Ad

2 + d

2A x = (G

x - G

0/3)a

e ahol c

3 egy egész szám. Mivel G

n = aa

n + b/?

n és a = (G

x — G

0/9) /(a — /9) * 0, ezért (X

n—

e — B

n~

e an-e+l_ fínG

nx = axa

n + bx/?

n = 2c

3 ^— + 2c

2 K a-/? ' z a-/? an-e_tfn-e an-e _ tfn-e an-e+1 _ ^n-e+1 -Ad

2 £— +d

L * +d

2 £ + a— p a— p a — p 1 + bx/3" + (2c

3 + 2c

2/3 - Ad

2 + d

x + d

2

/S) . am _ Az — ^m kifejezés egy másodrendű lineáris rekurzív sorozat a — p R

0 = o, R

1 = 1 kezdő értékekkel és f(x) = x

2 —

Ax —B karakterisztikus polinommal, és így {R

m}

m°l

0 sorozat elemei egész számok. A d

x és d

2 racionális számok, továbbá j/?j < 1 miatt -* 0, ha n Ezek figyelembevételével sin (G

NXTT) akkor és csakis akkor konvergens, ha H

n = — AdaRn + diRn + daRn+i = r vagy 1 — r (mod 2) elég nagy n-ekre ahol r egy rögzített racionális szám — minthogy sin (tjc) — sin ((1 — r)jt) — , és ekkor a határérték sin (rcr). Ha d

x és d

2 egészek, akkor H

n is egész szám és így H

n = 0 vagy 1 (mod 2) s így ekkor a határérték lim sin (G

NX7R) = sin (OTT) = 0. k , , k Ha dj = d

2 = — alakú, teljes indukcióval bizonyítjuk, hogy H

n = — 3 3 (mod 2). k n = 0-ra H

n = — miatt igaz az állítás. ó Tegyük fel, hogy H

n = | ((1 - A)R

n + R

n+

1) == | (mod 2). Mivel H

n+

1 = 831