Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1984. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 17)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBŐL - H. Molnár Sándor: Másodrendű lineáris rekurzív sorozatok tagjainak szinuszairól

MÁSODRENDŰ LINEÁRIS REKURZÍV SOROZATOK TAGJAINAK SZINUSZAIRÓL H. MOLNÁR SÁNDOR Legyen a G = {G

n}

n"

0 másodrendű lineáris rekurzív sorozat definiálva a G

0, Gj, A, B egész számokkal és a G

n — AG

n_! + BG

n_

2 ha n > 1, rekurzióval. Tegyük fel, hogy AB jé 0, A

2+4B > 0 és hogy G

0 és G

x értéke egyidejűleg nem zérus. Jól ismert, hogy a G sorozat elemei a G

n = aa

n —b/?

n Binet formulával kifejezhetők explicit alakban, ahol a és § a G sorozat x

2 —

Ax —B karakterisztikus polinomjának zérushelyei, továbbá Gi — Gn/3 , Gi — G

na a = -i -p, b = — a— p <x — p (V.ö. I. Niven és H. S. Zuckermann [9] 91, o.). Dolgozatunkban a karakterisztikus polinom zérushelyei közül mindig a nem kisebb abszolút értékűt fogjuk a-val jelölni: |aj —Az A

2-f 4B >• 0 feltételünkből következik, hogy a és /? valós számok és Az A = B = 1 speciális esetben a G sorozatot Fibonacci típusú sorozatnak nevezzük, és elemeit u

0, u

l

f u

2, . . .-vei jelöljük. Olyan konvergencia vizsgálatot, mely másodrendű lineáris rekurzív sorozatokhoz kapcsolódik már számos szerző végzett. Például Kiss Péter [5] és Mátyás Ferenc[7] G

n

+j/G

n (i rögzített) típusú hányadosok konvergenciájára vonatkozó állítások segítségével bizonyítottak diofantikus approximációval kapcsolatos tételeket. W. Gerdes [2] eltekintett attól, hogy a G sorozat kezdő értékei ós az A, B konstansok egész számok, helyette tetszőleges valós számokat megengedett. Meghatározta G

0, G

x, A, B £ R és G

n = AG

n_

1 + BG

n_

2 {ha n > 1) esetén a {G

n}

n"

0 sorozat konvergenciájának feltételét. Eredménye szerint ahhoz, hogy a {G

n}

n"

0 sorozat konvergens legyen az A és B számoknak egy — általa meghatározott — síkbeli tartományba kell esnie. Eredményeit [3]-ban általánosította harmadrendű lineáris rekurzív sorozatokra. 825