Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - H. Molnár Sándor: Háromszögek szögeinek lineáris függetlenségéről

(2) eos k 0 = ( ^) cos

k0 - Ig) cos

k20sin?@ + ^jcos "-<6>

si

n

46>—

+ahonnan a sin

2 <9 = 1-— cos

2 0 összefüggés felhasználása után cos k0=+2

k] co*

k0 + Pk2(co*0y=

±2

j (3

) c adódik, hogy Pk_2 (cos 6>) a cos 6>-nak, míg P' k—

2 (b) a b változónak k—

2-ed fokú egész együtthatós polinomja. (3)-ból 2*"V

k±2

kbV P\-,(b) + c

4FÍ-2<b) cos"k©= ít (4) adódik. Mivel (a, b) = 1 miatt (b

2, c

2) =1, így legfeljebb 2«

k-vel, vagy 2-nek a k-nál kisebb kitevős hatványával lehet egyszerűsíteni a (4) jobb oldalát. Tehát páratlan c

2 esetén (4) redukált alakjának nevezője c

2

k, páros e

2 esetén a számláló minden tagja osztható 2-nek valamely pozitív egész kitevős hatványával. A tört egyszerűsítése után tehát a nevező 2/* q

k alakú lesz, ahol 0 ^ /5 < a k, ami. az 1. Lemmát igazolja k > 0 esetben. A k < 0 esetben cos (x) = cos (—x) miatt igaz az állítás. A 2. Lemma bizonyítása: Legyen először k > 0. Az 1, Lemma bizonyításánál kapott (3) egyenlőség megfelelője most „ s cos H = — miatt t (5) tk alakú, ahol P'

k_

2(s) az s változónak k—2-ed fokú egész együtthatós polinomja. Ha t páros az (s, t) = l miatt, csak 2-nek a k-nál nem nagyobb pozitív egész kitevős hatványával lehet egyszerűsíteni. Páratlan t esetén (5) jobb oldalán cos k <9 redukált alakja áll. Ebből hasonlóan, mint az 1. Lemma bizonyításánál, már következik az állítás. Az 1. Tétel bizonyítása: Tegyük fel, hogy rí 0i + r

2 02 = 0 ahol r\, r-2 zérustól különböző racionális számok, továbbá cos b

2 cos 0o = — , Ekkor vannak olyan k és m pozitív egészek, melyekkel c

2 (6) bi Cl 570