Az Egri Ho Si Minh Tanárképző Főiskola Tud. Közleményei. 1982. (Acta Academiae Paedagogicae Agriensis : Nova series ; Tom. 16)

II. TANULMÁNYOK A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK KÖRÉBÖL - Dr. Kiss Péter: Közös elemek másodrendű rekurzív sorozatban

KÖZÖS ELEMEK MÁSODRENDŰ REKURZÍV SOROZATOKBAN DR. KISS PÉTER Legyen G = G (A, B, Go, Gt) egy másodrendű lineáris rekurzív sorozat, melyet az A, B, G

0 és Gi racionális egészekkel és a G

n = AG

n-i - BG

n-i (n > 1) rekurzív formulával definiálunk. Legyenek a és /? a sorozat f(x) = x

2-Ax+B karakterisztikus polinomjának a gyökei és tegyük fel, hogy a sorozat nem degenerált, vagyis AB ^ O, Gq és Gi nem mindkettője nulla és a//5 nem egységgyök. Jól ismert, hogy a sorozat tagjainak explicit előállítása V

1) ^n — —7T Ö ' oc — p ahol a — Gj — Go ^ és b — Gi—Gu a, továbbá (2) ' ]G

nj > c

2 • |a|

n n —

C

s ha n > rí, ahol c\, c^ és rí a sorozat adataiból explicit meghatározható konstansok (lásd-pl. [3]-ban). A G sorozat speciális esetét, amikor G„ = 0 és Gi = 1, a következőkben; R-^rel:jelölj ük. Az R sorozat tagjai (1) alapján • - - a

n - B

n (3);.: " 11,= * p a - nő alakban írhatók fel. (2)-ből adódik, hogy minden R és minden G sorozatban, ha a; fi nem egységgyök, bármely x valós szám esetén |R

n| > x, illetve |G

n| > x ha n > n

0 (A, B, x), illetve n > n

0 (A, B, Go, Gi, x). Ebből következik, hogy a sorozatokban minden elem csak véges sok elemmel lehet egyenlő. K. K. Kubota [4, 5] ennél, többet bizonyított: ha egy G sorozatban a//? nem egységgyök, akkor a sorozatban minden elem legfeljebb négyszer fordulhat elő. F. Beukers [1] javította 539