Állami főreáliskola, Debrecen, 1881

III. AU„ = U

n+

1- Un A

2 Un ~ A U

m+

1 - A Un = (U

n+

2 - U„

+

1) - (U

n+

1 - ü„) = Un+2 — 2 Un+1 + U„ A

3U„ - A

2U„

+1 -A

2U

n =(U„43 - 2Un+2 + U

n+l) — (U

n

+2 -2U„+1+U„) = Un+3 — 3 U„42+ 3 Un+1 u„. Látni való, hogy a coeificiensekben, a binomial coefficiensek törvénye van kifejezve. Annálfogva írhatjuk általánosan : A

r

aUn = U

n-fm - (?) Un+m—1 + © U

n+

m_

2 + . . . . + (-1U„ Hogy ezen egyenlet m-nek minden értékére nézve érvényes, könnyen megmutathatjuk, ha bebizonyítjuk, hogym = r értékre nézve érvényes, mert ez esetben érvényes leend m = r -f- 1 értékre nézve is. Legyen A

r+i U

0 = A

r U, — A

rU

0 «) Tegyük fel, hogy m = r, és fejezzük ki A

rUj és A

rU

0 értékét a fentebbi képlet szerint : A'U, =U

r+

1 - G)u

r+ (

r

2) Ur—i... .+ (-1 )

r U, A'U

0 = Ur — (í) Ur-!.... - (•-])

rU

1+(-t)

rU

0 Helyettesítsük ezen értékeket az a alatti egyenletbe, akkor nyerjük : Ar+lU

0=U

r+

l-(

rt

1)Ur + (

rt

,)Ur-l.... + (-l)

r+

lU

0. Ebből látni való, hogy az egyenlet m — r + 1 értékre, valamint mnek minden — m = 1.2.3... stb. értékére nézve érvényes. De nemcsak a különbségi sornak, hanem a fősornak is ki tudjuk minden tagját fejezni magának a fősornak első, és az egymásután következő különbségi sorok kezdő tagja által; vagyis: Ui=U

0+AU

0 U

2 =U

1 + AU

1 — U

0 -(- 2 A U„ -+- A

2 U

0. általában Un= U

0 + (?) AU

0+ g) A

2U

0-f- (3) A

3U

0. •. .A-J

0 a) a hol U„, a fősornak 111+ 1-edik tagja. Az összegezési tag kiszámítására nézve : Uj+U, = ü,-|- (U,+ A ü,) = 2 U

t + A U, Ui+Ug+Ug = (2U

a+ AUJ + (U

1+2A Uj+A

2 U

x) = = 3^+BAUj+A^U, és így tovább. Innen per analogiam képezhetjük az átalános kifejezést : ^n - (1) U

0+ (2) A U

0 + (3) A

2U

0+ (4) A

3 U

0.... (

m^-i) A'«U

n (3) Ha tekintetbe vesszük az a és (3 alatti egyenleteket, látjuk hogy ezen kifejezések mindenike, vagyis azon sorok mindenike, melyekhez ezen egyenletek tartoznak m+1 tagból áll. Egy első rendű számtani sor képzé-