Kegyes tanítórendi Szent József katolikus gimnázium, Debrecen, 1891
4 a változók mindez n egyenletekben ugyanazon értékkel bírjanak. Ha az adott egyenleteknek ilyszerü összekapcsolása folytán resultánshoz jutottunk, mely tehát a változókat nem tartalmazza, az csak akkor lesz — o-val, ha az összes egyenleteket a változóknak ugyanazon értékei kielégítik. Tehát egy adott egyenlet-rendszer resultánsa az egyenletek coefficienseinek oly függvénye, mely függvénynek eltűnése az egyenletek közös változóinak ugyanazon értéke mellett bizonyít. A következőkben két algebrai egyenlet resultánsát fogjuk vizsgálni. Vegyük vizsgálat alá ezen, egy változóval biró két általános alakú egyenletet: 1) f (x) = a„ x m -}- a, x m-! -f a, x m~ 2 + . . . + a m-i x + a r a --- o és 2) ? (x) •= b t ) x 1 1 + b, x 1 1+ b, x n2 + . . . + bn-1 X + b„ = o, melyek egyike m-ed, másika n-edfoku, mi mellett lehet m- n is; határozzuk meg a föltételt, mely alatt e két egyenlet egy közös gyökkel bír. Ha az 1) alatti egyenlet gyökei a,, . . . . a m s föltéve, hogy mindegyik gyök véges, tehát a 0 nem o, vagyis ha f (x) a 0 (x —a) (x-a,) .... (x — a m), akkor, hogy ezen gyökök közöl legalább egy kielégítse a 2) alatti egyenletet, szükséges és elégséges kellék, hogy a ?( ai)i ? ( a 2)i • • • • ? ( am) értékek egyike O-lá legyen, miből aztán következik, hogy 3) © (a,). <p(«2) . . . . o (am — o. Viszont, ha ezen 3) fennáll, akkor tényezőinek egyike bizonyára O-lá válik, következőleg az 1) alatti egyenlet egyik gyöke kielégíti a 2) alatti egyenletet. Tehát liogy f (x) = o egyenlet, melynek a 2, aj,. . . . a m gyökei végesek, a ® (x) = 0 egyenlettel közös gyököt birjon, szükséges és elégséges feltétel, hogy P ?(*!)• ® (s) • • • • ? ( am) szorzat elenyészszék.
