Református főgimnázium, Debrecen, 1909

5 inig az axiómák teljesen a priori alaptételek, melyekhez csak az ész belső szemlélete kell. Visszatérve Euklideshez, megemlítem, hogy az axiómák után következnek a szigorú következetességgel 6 lépésben bebizonyított tételek. Az említett fontos V. posztulatum már a régiek előtt sem látszott abszolút igaznak, közvetetlenűl világosnak, tehát olyannak, melynek ellenkezője elképzelhető ne volna. El tudunk képzelni két vonalat, melyek ugyan egy kissé egymás felé közelednek — amelyeknél tehát egy harmadikkal való átmetszésnél keletkezett belső szögek összege kisebb 180°-nál — még sem metszik egymást, még ha mondjuk 10, vagy 100, vagy 1000 m.-re hosszabbítjuk is meg őket. Vagy fordítva, el tudjuk azt is képzelni, hogy két vonal, amelyeknél az említett belső szögek összege 180°, amelyek tehát az V. posztulatum szerint egyik oldalon sem metszhetnék egymást, mégis nagy messzeségben találkoznak, hiszen erre a csalóka következtetést tapasztalat is erősíti pl. a vasúti sínpárok összehajlása. Ezen posztulatum helyességéről a tapasztalat sem győz meg, mert mi végtelen nagy távolságra nem követhetjük a két vonalat. — Természetes tehát az a gondolat, hogy ha ez ennyire nem axiomaszerű, akkor ezt csak akkor fogadhatjuk el, ha bebizonyítjuk. Ezzel próbálkoztak a tudósok annyifélekepen, hogy 1770-ig 7000 erre vonatkozó művet tudott összeszedni Kástner.

1 Megkezdte már Ptolemáus s hogy egy párt említsek : Saccheri, Lambert, Legendre próbálkoztak részben ezen posztulatumnak, részben az ezzel szoros összefüggésben levő következő tételek bizonyításával: 1. A háromszög belső szögeinek összege 180°; 2. A háromszögnek külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő két szög összegével; 3. Egy ponton át csak egy párhuzamos rajzolható ; 4. Az egvenlőközü vonal egyenes. (Bolyai.) Ha ezek közül bármelyiket be lehetett volna bizonyítani, az V. posztulatum igazsága is bebizonyítható. De nem sikerült senkinek. Azt kimutatták, hogy ha egy háromszögben 180° a szögek összege, akkor mindenikben annyi; épen ezért már arra is gondoltak (pl. Lobacsefszkij), hogy nagy háromszögben megmérik, de i Bedőházy : A két Bolyai 170. lap.