Református főgimnázium, Debrecen, 1909

13 épen ebben rejlik érdeme Lobacsefszkij felett, hogy ezt látta, bár ilyen formában nem mondta ki. Ezzel több lenne az ő műve a L.-nél, még ha az elsőség kérdése nem az ö javára dőlt volna is el. Ő a k állandót tetszőlegesnek tette fel, melynek minden értékéhez tartozik egy geometria. Ezt a felfogást nem csak atyja, hanem a nagy Gauss sem értette meg. Apja „a dolog értékét minden módon kisebbíteni törekedett, minek okát — mint János írja —

1 abban kerestem, hogy képtelen a dolog velejébe hatolni. Pl. magyarázataim után kicsinyléssel mondá, hogy ez csak a nem euklidikus rendszer kidolgozása. Egyszersmind tántoríthatatlanul megmaradt annál az állításánál, hogy csak 2 rendszer van t. i. az euklidikus és ha ez nem áll, akkor egy másik, melyben a parallela szög absolute meg van határozva és e rögeszméjétől nem volt megszabadítható, nem bírta átlátni, hogy számtalan hypothetikus rendszer lehetséges, melyek közül a valódit nem vagyunk képesek kiválasztani." Bolyai János tehát ezen felfogásával a mai felfogáshoz közelebb van, mint akár Lobacsefszkij, akár Gauss. Tehát ő csakugyan általános, abszolút igaz geometriát alkotott, az ö geom.-ja magában foglalja a sík s a gömb geometriát is. Biemann azonban analytikai úton még általánosabb feladattal foglalkozott. Gauss nyomán — aki a vonalelemet, a két geodetikus koordinata differenciáljának homogén quadratikus alakjában fejezi ki — ő is a vonalelemet hasonló módon n változó differenciáljainak quadratikus alakjával állítja elő. A Riemann elméletét Helmholtz 1868-ban 3 dimenziós térre közvetlenül igazolja. Az ezen irányú vizsgálatokat azért említem fel, mert ezek nyomán jutott 1868-ban Beltrami arra — a Bolyai geometriának végre általános elismerést biztosító — eredményre, hogy mindazon tételek, amiket Bolyai levezetett az V posztulatum nélkül, s amelyek a síkon nem ábrázolhatók igazi alakjukban: egy görbe felületen. — amelyet Beltrami pseudoszférának nevezett — is érvényesek s azon tényleg meg is szerkeszthetők, ha az egyenesek helyett a geodetikus vonalakat vesszük. (Geodetikus vonalnak a felületen a két pont közt húzható legrövidebb vonalat nevezzük.) Az ilyenfajta görbe felületeket a felületelmélet állandó neqativ görbületü 1'éliileteknek nevezi. Tehát olyan felületek, melyeknek görbülete a gömbével ellenkező; melyek i Stackel. i. h. 253. 1.