II. kerületi állami főreáliskola, Budapest, 1913
Dr. Kresznerics Károly: Az egész számok elmélete
12 Mivel minden szám önmagával osztható, p is osztható önmagával, vagyis rq szorzat osztható /7-vel. Ámde feltevésünk szerint p valamely szorzatot csak akkor oszt, ha valamelyik tényezőjét osztja, de p a nála kisebb r-t és q-1 nem oszthatja. Helyes következtetéssel helytelen eredményre jutottunk; a hiba csakis a kiindulásban lehet, vagyis /7-nek törzsszámnak kell lennie. 2. Valamely a összetett szám legkisebb osztója törzsszám. Legyen a-nak legkisebb osztója ó; ha b nem volna törzsszám, akkor b = cd, ahol c és d kisebb b-nél. Ámde az oszthatóság 1) tétele szerint ha a osztható ó-ve 1 és b osztható c-vel, akkor a is osztható c-vel, vagyis a-nak a legkisebb osztónál kisebb osztója volna, ami lehetetlen. Tehát a legkisebb osztónak törzsszámnak kell lenni. 3. A törzsszámok száma végtelen. A bizonyítás EuKLiDES-től származik, aki Elemeiben nemcsak a geometria rendszerét adja, hanem geometriai alakban algebrai és arithmetikai tételeket is találunk benne. Az Euklides-féle bizonyítás a következő: Mutassuk meg tételünk ellenkezőjének lehetetlenségét, tudniillik azt, hogy a törzsszámok száma véges. Legyen minden létező törzsszám: 2, 3, 5, ... p. Adjuk e törzsszámok szorzatához az egységet n = 2.3.5... /7 —j— 1. 1) n a felírt törzsszámok mindegyikénél nagyobb; 2) n vagy törzsszám, amely a felírtaknál nagyobb s itt van az ellentmondás, vagy összetett szám s ekkor az előbbi tétel szerint legkisebb valódi osztója törzsszám. Ámde n a felírt törzsszámok egyikével sem osztható, mert bármelyikkel osztva, maradékul 1-t kapunk. Így mindkét esetben ellentmondásra jutottunk, tehát az a feltevésünk, hogy a törzsszámok száma véges, hibás, vagyis a természetes számsorban végtelen sok törzsszám van. A 2-es szám kivételével minden páros szám összetett szám, mert kettőnek többszöröse. Tehát a 2-es törzsszám kivételével minden törzsszám páratlan. Az eddigiek alapján valamely a páratlan számról úgy döntjük el, hogy prímszám-e, hogy kikeressük valamennyi osztóját és ha
