VII. kerületi István-úti magy. kir. állami Szent István főgimnázium, Budapest, 1911
II. A számfogalom a középiskolában
32 felvesz, feltéve, hogy az alapszám > + l. Míg az exponens nullától — oo-íg fogy, addig a hatvány értéke -f- 1-től nulláig fogy; ha pedig az exponens nullától folyton nő, akkor a hatvány értéke is folyton nő. Ha az exponens positiv szám, akkor a bizonyítás könnyű; de ha az exponens törtszám, akkor már egyes esetekre szorítkozunk. Megszorítjuk először is arra az esetre, hogy az exponens valódi tört, mert ha áltört volna, akkor a hatvány két tényezőre bontható, úgy hogy q 9 p+ — — a r =aP . ar. Eszerint csak ennek a sornak a helyességéről kell igazolni • j_ i_ í í i ar > ar\> a1* ><%'*>■■■>a7'2".. Akármilyen nagy szám is a, fokozatos négyzetgyökérfejtés után végre odajutunk, hogy a ** = 1 + P-■i p+q Innen ezután fokozatos négyzetgyökérfejtéssel kimutathatjuk, hogy Lim. a n = 1, ahol — i.2m Ha az exponens negativ, akkor _j_ __i_ _J_ __L a r <a ** < a rtn. De Lim. «■^=Lim.(^A-)=l. (Lásd König-Beke, Algebra.) Eszerint a tört exponensű hatvány határértéke akkor is az egység felé hajlik, ha az exponens olyan negativ törtszám, melynek absolut értéke folyton kisebbedik. Általánosan így bizonyítjuk be a tételt: Legyen ILI JL a1, a2, a3, a*,..., aw_1, an a tört hatványok tetszésszerinti sora. Emeljük fel a sor minden tagját - n ! = 1.2.3.,..., (n—Y)n
