VII. kerületi István-úti magy. kir. állami Szent István főgimnázium, Budapest, 1911

II. A számfogalom a középiskolában

A tangens és secans absolut értékeinek sorozatában 90° körül ugrás van; mind a kettő +00-ből csap át negativ értékbe; a geometriai fejtegetés azonban azt mondja, hogy + 00 és —00 összesnek. Képzeljünk eg7 igen nagy radiussal leírt gömböt például a földet vagy a napot. Fektessünk át rajta a középponton két egymásra vertikális síkot, ezek

a gömböt két legnagyobb körben metszik ; AC például az egyenlítő egy része, BD pedig a délköré. A két kör másik metsző pontja 0 ponttól 180°-ra fekszik. Ha azon a másik metszőponton és a COA körnek A pontján át egy síkot fektetünk, ez a gömbkör nem lesz ugyan a B D délkörrel egyenlőközű, de véges távolságban annál jobban megközelíti az egyenlőközű egyenest, minél nagyobb a gömb radiusa. AOE szögnek OE mozgó szára összeesik OD-vel, ha a.4 = 90°, D és AU szárak a végtelenségben (180°-ra 0 ponttól) összeérnek. Ha OE szár tovább mozog, akkor a két szár (t. i. a két kör síkja, tehát a két körvonal is), ismét szétválik és a két gömbkör (véges távolságban a tangers és secans), AC vízszintes átmérő alatt metszi egymást. A cotangensre és cosecansra nézve úgy áll a dolog, hogy a cosecans ábrázolására az egyenlítő síkja szolgál, melynek egy része AC átmérő, a cotangens ábrázolására szolgáló gömbkör egy része TE, mely az egyenlítő körét 0 ponttól 180° távolságban érinti. Az okoskodás itt is hasonló, mint a tangens secans eseténél.

A goniométriai függvények értékváltozásának fejtegetése tehát azt mutatja, hogy a positiv és negativ számsornak, azaz a teljes számsornak két közös pontja van t. i. a nullapont és a végtelenben levő pont. (A Bólyay-Lobatschewszky-féle geométriában +°° és —00 szintén összeesik). Az analysis megállapítja, hogy —, —■ 00 — 00 határozatlan mennyiségek, miért képez tehát ez a pontosan meg nem határozható mennyiség határt a pozitív és negativ mennyiségek között? Míg a negativ mennyiségek használata az algebrában meg nem honosodott, addig a nulla volt a számsor kezdőpontja (t. i. az elemi mennyiségtan nullája a—a.) A negativ számok sora azután ott kezdődött, ahol az absolut számok sora végződött, vagyis a nullánál.