VII. kerületi István-úti magy. kir. állami Szent István főgimnázium, Budapest, 1911
II. A számfogalom a középiskolában
25 de reprendre des definitions de l’égalité, de l’inégalité et des opé- fations arithmétiques».1 Tannery itt határozottan kimondja, hogy á törtszámot két egész szám hányadosának tekinti. De már ugyanazon művének második kiadásában (I. kötet, 6. lap) a törtszám fogalmát így állapítja meg: «Étant donnés, d’une part, une unité de longueur et, d’autre part sur la droite indefinie x'x, un point 0 que I’on prendra pour forigine et, sur cette mérne droite un sens (de gauche ä droite) pour le sens positif on sait que, á chaque nombre rationel a positif ou négativ, correspond un point A de la droit et un seul. Si, en designant par p et q deux nomres entiers positifs, — est la valeur absolou de a, ou obtient ce point en divisant Vunité de longueurs en q parties égales et en portant bout a bout, a partier de Vorigine 0, p de ces parties.1 2 Hasonló módon tárgyalja a törteket a Mennyiségtan Elemei című munkájában.3 Hiszen az egyenlő részekre osztott egészből épül fel a mértékek rendszere. Mivel magyarázható meg ez a feltűnő eltérés a törtszám fogalmának .eme kétféle meghatározásánál ? Az analysisben 1 Meg lehet teljesen szerkeszteni az analysist (differenciálintegrál-számítást) az egész számok ismeretével és a relativ (számok) elemeinek ismeretével az egész számok összeadására; szükségtelen más követelményhez, más tapasztalati adathoz folyamodni; a végtelennek ismerete, melyből nem kell titkot csinálni a mennyiség- tanban, erre szorítkozik: minden egész számra következik egy másik. Erre az álláspontra próbáltam helyezkedni. Valóban, a teljesség végett ki kellett terjeszteni a törtek elméletét; egy törtszám, ebből a szempontból, melyet kijelöltem, nem tekinthető az egység egyenlő részei összegének; ezen szavaknak «az egység részei» nincs többé értelmük ; egy törtszám két egész szám aránya, melyek bizonyos rendben sorakoznak; ezen újfajta számokra ki kell terjeszteni az egyenlőség, az egyenlőtlenség meghatározását és az arithmetikai műveleteket. (Lásd Kronecker: Über Zahlenbegriff. Journal f. Mathem. 101. köt. 355. 1. Az aláhúzott sorokat Kronecker nem idézi, hanem Müsebeck Károly, stettinai főreáliskolai tanár szívessége folytán a berlini tudomány-egyetem könyvtárából szereztem meg. A magyar és osztrák nyilvános könyvtárakban csak a második kiadás volt kapható.) 2 Ha ismeretes egyrészről egységnyi hosszúságú egyenes, továbbá a határozatlan hosszúságú egyenesen egy 0 pont, melyet kezdőpontnak lehet tekinteni és ha a balról jobbra számított irányt positivnak vesszük, akkor világos, hogy minden rationalis, positiv vagy negativ a távolságnak megfelel az egyenes A pontja, de V csak egy pont. Ha két positiv egész számot p és q-val jelölünk, — az absolut értékét jelenti a-nak, akkor megkapjuk a kérdéses pontot, ha az egységnyi távolságot q egyenlő részre osztjuk és 0 kezdőponttól számítva p számú ilyen részt viszünk fel rá. 3 Notions de Mathématiques. Paris. Ch. Delagrave. Német kiadásban : Elemente der Mathematik. Deutsch von Dr. P. Klass. Leipzig. B. G. Teubner.
