Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 81 Állításunk első fele eléggé világos. A megfordítást illetőleg, ha beigazolhatjuk, hogy az x^ kifejezésben ha x helyett az 1, 3, 5, 7 . . . 2»—1 2«—1 sor (2"1) számú tagjait helyettesitjük, nyerünk számú különböző maradékot és minden maradékhoz 2^+1 számú gyököt az x számára. E maradékok a p»—2=1 (mod. 2») congruentia 2«—V-2 számú megoldásai közt fordulnak elő, tehát e megoldások fele maradéka, másik fele nem maradéka a 2^ hatványnak. E megoldásokból már most a maradékokat a nem maradékoktól kell elkülönítenünk. E czélra az összes gyököket kettőnkint 2»—2 számú csoportba sorozhatjuk -f p és —p alakkal ezek egyike maradék. — Ha egyidejűleg mindkettő maradók valamely x és y-al érvénybe lépnének f (mod. 2») congruentiák, melyekből x

2—y

2 =2p (mod. 2»), honnét, ha «>3 következik : (mod. 4) ... 1) e congruentia baloldala, miután 1 a 0-tól különböző positiv szám, x% -y*-e 1 osztható ; s mivel továbbá x és y páratlan számok, az x

1—y

2 a 4 többese, tehát x*

X—y*

K=0 (mod. 4) ... 2) 1) és 2) congruentiák összehasonlításából 2p==0 (mod. 4) jelentkezik, miből p=2 (mod. 2), azaz: p páros szám, ellenmondásban föntebbiekkel, tehát +p és —p mindkettő maradék nem lehet. De épen ugy nem lehet mindkettő nem maradék, mert maradna 2»—

2 — ] pár gyök s ezek közt a 2»—2 számú gyök csak ugy fordulhatna elő, ha legalább egy csoport tagjai maradékok lennének, miben újra az előbbi ellenmondásra jutunk. Ha a gyökök közül a +l-et kizárjuk, melyek közül az +1 maradék a —1 nem maradék, azokat páronkint 2"-h -j-1 és 2'-h — 1 alakok szerint is csoportosíthatjuk, hol h= 1, 3, 5.. .2»—*—1 s x=»—1 ,n—2, n—3...X-»-2 értékekkel szerepelhet. Föntebbi tételünk ezekre is érvényes, mindkettő egyszerre maradék vagy nem maradék nem lehet. Nem lehet mindkettő maradék, mert ez esetben £C2

X=2X£ + 1 ) , , 0 , . ? (mod. 2n) 7/^=2^—1 S congruentiák lehetségesek, s ezekből h (mod. 2»), mi nem Congruens számok elmélete. 6