Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 79 Az első hatvány maradékai tehát, melyek a 2-dik és 5-dik hatványnál nem fordulnak elő +2, +3, +8, +12, s ha a legkise bb positiv számokat akarjuk csak fölhasználni (mod. 25), primitív gyökei: 2, 3, 8, 12, 13, 17, 22, 23 lesznek. Az eddigiekben tehát láttuk, hogy minden x

Q=r (mod. R) alakú congruentia, melynek kitevője összetett tényezője a <p(£)-nak, határozott számú oly congruentiára vihető vissza, melyek kitevői a 9(K) egyszerű törzstényezöi. Ily congruentiára jutunk vissza mindig, ha az általános £c

N=r (mod. K) congruentiát, hol K=k k

n, 2&

n, kell megoldanunk. Az ily congruentiák megoldásánál tehát, mint eddig is elég alkalmunk volt meggyőződni, ha biztos alapon akarunk haladni, szükséges ismernünk: a) A í modulnak legalább egy primitív gyökét; legjobb a legkisebb ;továbbá a cp(K) tényezőinek mindegyikéhez mint kitevőhöz tartozó számok közül legalább egyet. (3) A ©(&) tőrzstényezöinek mint hatványkitevöknek r mar adókait, s mindegyik maradékhoz cc-n e k legalább egy értékét. 28. §. Az x ==r (mod K") congruentia megoldása, ha k=2. A megelőző §-ból ismeretes: 1) Ha N páratlan szám, akkor (mod. 2

n) congruentiának csak egy megoldása lehet, mely — ha q~= 2^ azon kitevőt jelenti, melyhez r tartozik, — a iV

z=sl (mod. q) ós x=r" (mod. 2

n) congruentiák által határozható meg. Ha azonban Npáros szám, s q=2

K az Nés <p(2

n) legnagyobb közös osztója, akkor az adott congruentia mindenkor (íc

q)

q=r (mod. 2

n) alakra N hozható, mely, mivel — föltevésünk szerint páratlan, cc

q-ban egy megoldást mindenkor ad; legyen ily megoldás a:

q=p (mod. 2

n), akkor ez utolsó congruentia az adottal teljesen azonos. Vegyük a legegyszerűbb esetet p=l, nyilván congruentiánknak hódolnak mindazon számok, melyek a 1 vagy kisebb kitevőhöz tartoznak. Az 1-től 2

n-ig terjedő visszamaradt páratlan számok kizáratnak azon körülmény folytán, hogy magasabb hatványaik lesznek az 1-el congruensek. Hogy tehát a lehetséges gyökök számát meghatá rozhassuk, ismernünk kell előbb valamely kitevőhöz tartozó számok számát. Azonban ismeretes, hogy a 2

nx kitevőhöz tartozó számok 2'7}+l alaknak, tehát a 2'" kitevőhöz tartozó számok 2

a_

í7í+l alaknak, hol h helyett az 1, 3, 5, 7 . . . 2

X—1 páratlan számokat kell bevezetnünk; mert /í=2

!'- + l-re oly páratlan szám áll elé, mely nagyobb a 2* s valamelyik megelőzővel már