Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 75 Természetes, hogy az x

m hatvány maradéka az 1 és K—1 közt lesz pl.; akkor x

m=í (mod. K) s ha a-ra hatványozzuk, akkor £c

a

m=£

a (mod. K), mely a föntebbi congruentiával összevetve £

a=o (mod A

r)ad, azaz a p maradék, maradéka az a hatványnak is, ép az, mit állítottunk. Nevezetes e tétel már csak azért is, hogy független a modultól akár vagy 2k

n alakú legyen is. b) Ha az Né s f(K) legnagyobb közös osztója Q, akkor a z 2V-d ik hatvány maradékai azonosak a Q hatvány maradékaival. Ez állitásunk közvetlen következménye az x

N=r (mod. K) congruentia lét feltétének, mely t. i. csak akkor lehetséges, ha r<ii—

r Q =/• (mod. K) megállhat, vagyis ha az iV-dik hatvány r maradékai e congruentia gyökei; de ugyanezen feltét szükséges az x (mod. K) congruentia létezhetésére is, tehát a Q hatványnál ugyanazon számok jelentkeznek maradókok gyanánt, melyek az N hatványnál jelentkeztek. Ez utóbbiban egyszersmind előttünk áll azon ut, melyen az x azon értékeitől, melyek Q hatványa (mod. üQ-ra r maradékot ad, azon értékeihez juthatnunk, melyek jV-dik hatványa ugyanazon r maradékot adja. c) H a a 9 (K) egy tetszőleges tényezője a

1, akkor az £c

a

a==r (mod. K) a* fokú congruentia visszavezethető a számú a fokú congruentiára. Legyenek az a fokú congruentiák : R

(a-1

)=fi

(

a2)í

t; ü

(

a~

2

)=/í

(

a3)

a... R"=R"

a, R'=R'

a, R=R

a (mod. K) összesen a számban, s ha mindannyi lehetséges, akkor helyettesítés folytán: „(a—l)a n(a—2)a« „(a—3)a» r

y, a—2 T

y a—1 t>„ a / j r=R ' , r==R ' , r==R

X ' ... r=R a f r=zR <* , r=R

a (mod. K) nyilván x=R (mod. K) a congruentia egyik megoldása. E következtetés azonban csak akkor jogosult, ha említett congruentiáink mind lehetségesek vagyis ha az a számú feltéti congruentiák, mint (Ü(K) IO{K) U,(G

) 01 F K) ;;>(/ÍT) T,>(A') ,. "n =l; « =1; 1. .. R'" a =1 ; R" a =1; R' a =1 (mod. K) mind egyidejűleg érvénybe lépnek. Ezek pedig azonosak: s(g) o(

g) o(g

) f_{K) r a =1 • a =r a' 1; ^ a' =r =1 ; e(g) y(g

) y(K) <?(•£) ?(K) R,„

{

a-S

)

a«-*=

ra*-'. Ria-Z) a

0

1-^,^"^! . E'-^

1 a* ^ (mod. /f) congruentiákkal, melyek mind érvényre emelkednek, amint az utolsó szilárd alapon áll, mert ebből valamennyi megelőző hatványozás