Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

- 72 — Ezek nyomán legyen bár K, lt

n vagy 2k

n alaka ép ugy mint a (mod. A:)-nál beigazolhatok a következő tételek: Ha k

n vagy 2 k

n modul mellett x a Q kitevőhöz tartozik, s ha 1, )w,, m

2, w

3.... Q—1 a <?-nál kisebb viszonylagos törzsszámok sora, akkor e számokhoz mint kitevőkhöz tartozó számok 8iZ CC ' ^ OC ® ^ • • • • tXí hatványokkal A" vagy 2 A" modulokra congruensek. Továbbá : Ha q primitiv gyöke k

n vagy 2 A

n-nek az 1,, p, p

2, p

3 . . . . p'

;,(kn) hatványok maradékai egymásközt incongruensek s a ftT-nál kisebb viszonylagos törzsszámokkal congruensek. 26. §. Az xn=a (mod. K) congruentia elmélete, ha a modul 2»> hatványa. Fermat tétele lényeges változást szenved. Mielőtt ezt tárgyalnék, egyszer-mindenkorra megjegyezzük, hogy K— 2 és 2

2 esetektől eltekintünk s «i>2 vesszük. Ezzel azon előnyben részesülünk, hogy a megelőző pontok tételeit ez esetre is minden megszoritás nélkül ismételhetjük. 1) Ha x valamely tetszőleges páratlan 4/T + l vagy 4/J—1 alakú szám, tehát a:

2=16/i

2+8/i + l, miből kitűnik, hogy bármely páratlan szám négyzete (mod. 2

3)-ra congruens az 1-el, tehát x

2=l (mod. 2

3). A megelőző pont szerint ha £c

y=l (mod. k

n) akkor cc

x

k=l (mod. k

n+

1) alkalmazva ezt congruentiánkra as''2=l (mod. 2

4) és CC

2

3=1 (mod. 2

5).. és £c

2

m"""=l (mod. 2

m) tehát Fermát-tótele (mod. K) -2m-ra következőleg alakul: Haamodul 2-nek 2-n él magasabb hatványa s x tetszőleges páratlan szám, mindig érvényes cc

2"

1 =1 (m o d. 2

m) congruentia. 2) x azon hatványát, mely csakis a 2

m~

2 kitevőn lesz congruens az 1-el, az analógia kedvéért, a 2

m primitiv gyökeinek nevezzük, és mindazon kitevők, melyekhez valamely x tartozik a 2

m~

2 kitevőnek tényezői. Legyen a; vagy 4& + 1 vagy 4h—1 alakú s h valamely páratlan szám, akkor íc

2=1 ((mod. 2»)) és a 24. §. A. 1) szerint o;»

m

_W ((mod. 2

m)) tehát a 24. §. 4) szerint x a 2

m_

2 kitevőhöz tartozik. Ha már most 4/í+l-be a páratlan h szám általános alakját 2n-\-l bevezetjük, lesz: 8»-f4+l miből 8« + 5 vagy Sn— 3, miből tótelünk következőleg alakul: A 8n+3 alakú számok a (mod. 2

m) primitiv gyökei Hátra vannak még a 8w + l ós 8n— 1 alakú páratlan számok.