Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881
— 70 pk n~\k -1)=1 ((mod. k n)) congruentiából 2) szerint p^-^l ((mod. k*) következik, miből 4) szerint p primitív gyöke (mod. & 2)-nek. Kérdés már most, lelietséges-e minden körülmény közt & 2-hez primitív gyököt találni ? Legyen k primitív gyöke p, akkor p k_ 1—1 különbség általában nem osztható k 2, tehátp^ l=\ ((mod. k)) s 1) szerint p< k-» k=l ((mod. k 2)) azaz p okvetlen primitív gyöke & 2-nek. Ha azonban p k~ 1—1 osztható k 2, legyen pl. p l=p + hk, hol h és k viszonylagos törzsszámok; emeljük föl ez egyenletet (k—1) hatványra P lk-i_i 4- + ^-^x3;^ 2 + + [k j j f^-i /jk-1. Jjq] j ia a j 0bb oldalt szemmel tartjuk, azonnal látjuk, hogy a bal oldal csakis Ar-val s semmi magasabb hatványával nem osztható; hogy A'-val osztható, világos, mert p k— 1—1 osztható k, sőt a k 1hk ío /v n-i(l>otA ímmH k-1\ k_ 2 j ,p k~ lhk kivételével, A" 2-el is osztható, úgy p v~ l—1, mint a többi tag; de j" Jp k~-hk-ban p, h, k viszonylagos törzsszámok, tehát csak &-val osztható, s k 2-e 1 osztva valami maradék jelentkezik. Tehát egyenletünkből ezek nyomán csak p l v~' l=l ((mod. k)) congruentia érvényes, melyből 1) szerint Pi k ((mod. k %)) nyer jogot s ebből 4) szerint p t =p+hk a (mod. k 2) primitív gyöke. Eredményeinket tehát következőkben fejezhetjük ki: Ha&primitiv gyöke p, primitív gyökelesz k 2-n e k i s, h a '=1 ((m od. Ic)) érvényes; ha pedig nem érvénye s akkor, ha h az 1, 2, 3... (k—1) számok egyike a k 2 primitív gyöke pi=p+hk alakú lesz. Ez uton mindig lehetséges k 2 legalább egyetlen egy primitív gyökét meghatározni s ebből a k n-hez tartozókat. Ha ily primitív gyök p s az 1, P, V\ P 3 P'^1 x halványsor maradék szakaszát alkotjuk, akkor a Q=q v k i t e v ő h ö z tartozó számok maradékai egyezők lesznek p azon hatványainak maradékaival, melyek kitevője kisebb n n\ ii •* * ' • 1 /I ?(k n) (4—1 )k nX-' , ©(«") sl. kozos osztoiuk es oz annyi Q q («) szám tartozik a mennyi a nála kisebb viszonylagos törzsszám. Legyenek m és Q viszonylagos törzsszámok w<Q, akkor mQ, azon kitevő, melynek <p(& n)-e 1 In. k. osztója Q t s azt állítottuk, hogy k—1 n-X—1 p mQi pm q k a Q kitevőhöz tartozik. Ha ez egyenletünket Q-ra hatványozzuk, lesz: (p m fi')Q=pm (iQi =pn":>(k n)=:i (mod. k n).
