Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 67 Annak kijelentésére, hogy valamely congruentia a modulnak semmi magasabb hatványára már nem lehetséges, a modul e legmagasabb hatványát kettős zárójelbe tesszük. Tehát £c

q

k*=l ((mod. &

n))-ből mindenesetre érvénynyel lép föl ajqk =1 ((mod. k

n+

1)). Ha ismételten a k hatványra emeljük, következik: x+2 £c

q

k ((mod. k

n+

s)) ép igy X+3 £c

q

k =1 ((mod. /f

n+

3)) s végro =1 ((mod. /c

n+>-)) azaz felállított tételünk teljesen érvényes. Ha k=2

: akkor «) sorunk az első ós utolsó tagra szorul, s ez esetre is érvényben maradnak föntebbi következtetéseink, kizárva azon esetet, ha n—1. Mert akkor cc

q

k*

+'—\=Xk

i 4 X

2k

2 = k

2 (X+X

2) tehát a jobb oldal k=2 magasabb hatványával is osztható lesz mint a második s ép ezért a baloldali különbségnek is oszthatónak kell lennie. Igy pl. 7i=l (mod. 2) vagy 7

2=1 (mod- 4), 7'2=l (mod, 2'+') mindenesetre helyes, de helyes lesz a 16=2

4 modulra is, vagyis 7

2=1 (mod. 16) tehát 2-nek 4-dik hatványa a legmagasabb, melyre a 7

2—1 különb.ség a 0-al congruens. 2) Ha az x^'—1=0 ((mod. k

n)) s ha ~k<n ésl<* feltétek állanak: £c

q

k"'~

X—1=0 ((m o d. Előlegesen megjegyzem, a feltétekhez csak azért kötöttem a kitevőket, mert különben ugy x mint a mod.-nál jelentkezhetnék negativ kitevő is, ennek pedig értelme nincs. x—X Mindenek előtt £c

q

k =1 (mod. k) congruentiának kell érvényesnek lenni. Ha ez nem érvényes, akkor bizonnyal érvényes: a3

q

k'" =a (mod. k) congruentia, hol az a incongruens 1-el, akkor Z:

x-ra hatványozva: a;

q

k'

(=a

k/

, (mod. A;), de a?

q

k =1 (mod. k) és a

k

X=(a

k1.a)

k

X~

1=a

kX2= =a

k=a tehát föltételünk ellenére l=a (mod. k) következnék, mi természetesen meg nem állhat. Hogy már most k azon legmagasabb hatványát is meghatározzuk melyre £e

qk

X~

X—1e=0, tegyük föl egyelőre, hogy e hatvány /c

X' tehát ^k* x_. 1=0 ((mod. k

X

l)) helyett 1) pont szerint azonnal a?

q

k*—1=0 ((mod. Jc'

+

A )) következik, s ép ezért föltétünk szerint w^X+l, tehát k keresett kitevője \ =n—X az mit állitottunk. 3) H a x a qlc* kitevőhöz tartozik (mod. fc

n) mellett, a kkor,feltéve,hogyX>0,a5

qk

X=l ((mod. k

n)) az az: íe

qk

X — 1 különbség &-nak ji-nól magasabb hatványával nem osztható. 5*