Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881

— 43 — 3) Ha q tényezője a (k — l-)nek sp primitív gyök s ha a p, p

2, p

3, p

4 . . . hatványokat alkotjuk, akkor: mindaz, melynek kitevője a (k—1) - el legnagyobb közös k i osztójának q\=—

v

allj

a> a 1 kitevőhöz tartozik. A szóban forgó hatványkitevők 1, 2, 3 . . . (k—1 ) lehetnek. Ha q=k—1, tehát 31=1, akkor mindazon kitevők, melyeknek k—1-el In. k. o. az 1, nem lehetnek mások, mint a le—1-nél kisebb viszonylagos törzsszámok. Minden más esetben, melyben q osztója a (k—l)-nek, két kérdés merülhet föl: oc) Elöállhat-e annyi szám, mennyi q-hoz tg,rtozhatik ? sha igen, p) váljon a jelentkező számok csakugyan a q kitevőhöz tartoznak-e ? a) Vegyük föl hatványsorunkból pl. e kitevőt, melynek (k—l)-el e k i közös osztója q

x, akkor— és =q hányadosok szükségkép vi'h h szonylagos törzsszámok és e>/c — 1 —qq

x , miből következik, hogy ^ <(/, honnét azonnal látjuk, hogy — több értéket nem vehet föl, mint a mennyi a g-nál kisebb viszonylagos törzsszámok száma. A z e-nek csakugyan annyi különböző értéket tulajdonithatunk is; e célra csak az e-t mint q, többeseit kell azon kitevők közt fölkeresnünk, melyek j-nál kisebb viszonylagos törzsszámok. (3) Feleletre vár a második kérdés, váljon az igy talált számok csakugyan q kitevőhöz tartoznak-e ? Legyen egy ily e alakja mq

x s a hozzátartozó hatvány p""

1', akkor, ha a hatvány maradéka r, p

m

q'=r (mod. k) congruentiában mert mq

x <k—1 és p a (k— l)-hez tartozik. Congruentiánkat q hatványra emelve : ,.q=pmqq, =pn.(k -1) (mod. k\ Még csak azt kell kimutatni, hogy q azon legkisebb kitevő, melyre r hatványozva, az 1-el lesz congruens. Ha nem q, hanem l volna azon legkisebb kitevő, akkor /•

1=£i

m

q'

1=l (mod. k) kellene állni, s mivel p primitív gyök mq

xl többese lenne a k—1 ==<?</!-nek, mi csak ugy lehetséges, ha ml többese g-nak, s mivel m és q viszonylagos törzsszámok, következnék, hogy l többese </-nak, nyilt fölforgatása ismert tételünknek: hogy ha l az r kitevője, akkor q többese az Z-nek. E tétel a számelmélet, terén igen előnyös s gyakori alkalmazásnak örvend. Általa egy adott primitív gyökből nemcsak a többi primitív gyököt határozhatjuk meg, hanem bármely számról megmondhatjuk, melyik kitevőhöz tartozik, e következő szabálylyal: a) Keressünk föl minden lehetséges számot, mely a g-nál kisebb £ i viszonylagos törzsszám; b) szorozzuk ezeket q

x=—-— számmal, e szorzatok kitevői a p primitív gyök mindazon hatványainak, melyek mara-