Ciszterci rendi katolikus gimnázium, Baja, 1881
— 35 — d) A q kitevőhöz tartozó számok összege =—1, ha q törzsszám, és =0, haj valamely törzsszám hatványa. Legyen a: a q kitevőhöz tartozó szám, akkor 10. §. 4. szerint 1 -\-x+xi + x 3+ . . . -f sci-'ssO (mod. k), miből állitásunk első része x+x 2-\-x 3 + . . . —1 (mod. /c)-ban világos. Ha pedig q=a< í alakú, hol a törzsszám, ne feledjük, hogy ha x a g'-hoz tartozik Fermat szerint x'"—1=0 (mod. k) ós x a—1^0, tehát &-val viszonylagos törzsszám, vele tehát előbbi congruentia osztható, azaz •i a j —— =0 (mod. k.) x n—1 ez pedig összegező tagja 1-1-®"4-x 2'+x 3 a+ . . . +x" a"=0 (mod. k) geometriai haladványnak- Ha ezen congruentiát az í+x+x 2-\- . . . -f£c«? 12s0 (mod. k) congruentiából levonjuk, baloldalán csak azon tagok jelentkezhetnek mint különbségek, melyekben x kitevőinek q=a a kitevővel közös osztójuk nincs, azaz : a ^-hoz tartozó számok összege congruens lesz 0-al. e) Ha q páratlan s 2q tényezője a (k—l)-nek, akkor: e q és 2q kitevőkhöz tartozó számok páron kint a k modulra egészitik ki egymást. Mert az egyetlen szám, mely a 2 kitevőhöz tartozik, k—1=—1 ; ha tehát q páratlan és 2q tényezője (k—l)-nek, akkor a 2q számait a q számaiból —1-el szorzás á'.tal állithatjuk elő, s a tisztán positiv számokat nyerjük, ha ez utóbbi szorzatokat a &-ból kivonjuk. így jártunk el föntebbi példánál a 10, 20, 60 számainak meghatározásánál. f) Ha 4 és q viszonylagos törzsszámok ós 4q tényezője a (k—l)-nek, akkor a 4q számai páronkint egymást a modulra egészitik ki. Ha q száma x, beigazoltuk, hogy 1 +x+íc 2 + íc3+ . .. + cc'J-'ssO (mod. k) congruentia érvényes legyen q— 4, akkor ebből l+x+x^+x^O (mod. k) lesz. A.zonban x a 4 száma, tehát szükségkép érvényre lép x 4=l (mod. k) congruentia, melyből gyökvonással íc 2=—1 (mod. /c), hol a +1 elesik, mert 2 kitevő száma csak a—1 lehet; congruentiánkból tehát csak x+x 3=0 (mod. k) marad; ha tehát x a 4 kitevő számainak egyike,akkor a másik —x. A 4q számait, ha 4 ós q viszonylagos törzsszámok, előállíthatjuk, ha a q számait ezen x ós —a>el szorozzuk; e szorzatok páronkinti összege 0, tehát a negativ szorzatok helyett a modulig kiegészítő számokat kell venni. 2*
