Dr. Zoltvány Irén: A Pannonhalmi Főapátsági Főiskola évkönyve az 1914-1915-iki tanévre

A dyad-operator és alkalmazása az analytikus geometriára

42. Négy ponttal, illetőleg négy síkkal meghatározott tetraéder. Válasszuk a térnek négy pontját. Ezen pontok coordinátái legyenek 7\, v

2, r

3 és Keressük ezen négy ponttal meghatározott tetraéder köbtartalmát. A tetraédernek a P

x (?*,) pontjából kiinduló három élét az 7*2 V

1

} î*3 í'i) í*4 l'l vectorok határozzák meg. A kérdéses tetraéder köbtartalma ezen három vectorral meghatározott parallelepipedon köbtartalmának a hatodrésze, tehát ^ V=7r[r

2 — r

u r

3 — r

u ^ — r,]. Vagy kifejtve y = g- {K r

3 n] — [í*3 n >'i] + [n — [>\ r

2 r

3]}. Ebből ismét kapjuk azon feltételt, hogy a négy pont egy síkban feküdjék [r

2 r

3 r

t] — [r

3r

t r

x] + [r

t — [»*, f 3] = 0. Ezen egyenlőség ugyanaz, mit már előbb is megkaptunk. Keressük most a négy síkkal meghatározott tetraéder köbtartalmát. Legyen a négy sík coordinátája 'M'i és így egyenlete u

x. r + 1 = 0, u

2. r + 1 = 0, w

3. r + 1 = 0, . r + 1 = 0. Ezen egyenletekből meghatározhatjuk a tetraéder csúcsainak coordinátáit. Három-három egyenletből ngyanis a csúcspontok coordinátái r

x = — (u'

2 + u'

3 + u\), r

2 = _ (u'

3 4- u\ 4- u\), r

3 = — (u\ 4- u\ + u'

2), = — (u\ 4- u\ 4- u'

3). A keresett köbtartalom ezekből V= -jr [u' — U

2, u' — U

3, U

x — u[\ = -i- {[u

x' U

2 ti/] — — [u

2 u

3 uf\ -f [Uj ul u

x

rI — [uí u/ «•/]}. Ebből ismét kapjuk annak feltételét, hogy a négy sík egy ponton menjen keresztül. Ezen feltétel [u

2 u

3 u/] — [u

3 u

4' u'} -f [u/

ulu

2'] — \u'u

2'u

3] = 0.